bonjour.
-- exercice 1 --
1b. formule B2 : "=1/A2"
formule C2 : "=1/(A2+1)"
formule D2 : "=1/(A2*(A2+1))"
formule E2 : "=C2+D2"
1c. on remarque que le résultat en colonne E a la même valeur que le résultat en colonne B, donc 1/n = 1/(n+1) + 1/(n*(n+1)).
1d. démonstration : 1 = n+1/n+1, donc 1 = n/(n+1) + 1/(n+1), donc 1/n = n/(n*(n+1)) + 1/(n*(n+1)) et finalement 1/n = 1/(n+1) + 1/(n*(n+1)).
2a. pour décomposer les fractions proposées en fractions égyptiennes, il suffit de poser n = dénominateur.
donc pour 2/5, on pose n=5.
comme 1/n = 1/(n+1) + 1/(n*(n+1)), alors 2/n = 2/(n+1) + 2/(n*(n+1)).
donc 2/5 = 2/6 + 2/(5*6) = 2/6 + 2/30.
si les termes fractionnaires sont réductibles en 1/... la décomposition est terminée, sinon, il faut recommencer la décomposition en changeant la valeur de n.
2/5 = 2/6 + 2/30 = 1/3 + 1/15.
2b. 3/5 = 3/6 + 3/(5*6) = 1/2 + 3/30 = 1/2 + 1/10.
2c. 4/5 = 4/6 + 4/(5*6) = 2/3 + 4/30 = 2/3 + 2/15.
dans cet exemple, on constate que le numérateur reste supérieur à 1.
il faut donc continuer la décomposition pour chacun de ces termes.
pour 2/3, on considère n = 3, donc 2/3 = 2/4 + 2/(3*4) = 1/2 + 2/12 = 1/2 + 1/6.
pour 2/15, on considère n = 15, donc 2/15 = 2/16 + 2/(15*16) = 1/8 + 2/240 = 1/8 + 1/120.
tous les termes ont 1 en numérateur, et ils sont tous différents, donc
4/5 = 1/2 + 1/6 + 1/8 + 1/120.
bonne journée.
