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MATHScertifié
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Bonjour , pourriez vous m'aider à démontrer que la fonction suivante est monotone :
f:x->√2x+5 , sur [-5/2;+∞[
Merci de votre aide

Sagot :

Scoladan
Bonjour,

1) par composition des fonctions :

u(x) = 2x + 5
v(x) = √(x)

⇒ f(x) = v[u(x)] = vou(x)       (o = "rond")

u est croissante et positive sur [-5/2;+∞[
v est croissante sur [0;+∞[

donc vou est croissante

2) par application de la définition :

Soit a et b appartenant à [-5/2;+∞[ tel que a < b

⇒ 2a < 2b
⇒ 2a + 5 < 2b + 5
⇒ √(2a + 5) < √(2b + 5)
⇔ g(a) < g(b)

⇒ g est croissante

3) par la fonction dérivée :

f est de la forme √u,  donc f' = u'/2√u      avec u(x) = 2x + 5 et u'(x) = 2

⇒ f'(x) = 2/2√(2x + 5) = 1/√(2x + 5)      sur ]-5/2;+∞[ car f n'est pas dérivable en -5/2

Sur cet intervalle, f'(x) > 0, donc f est croissante
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