Bonjour,
Ex 1)
f(x) = 0,05eˣ et g(x) = 5/eˣ pour x ∈ [1;4]
1) h(x) = f(x) - g(x)
a) On constate que sur [1;4], h est strictement croissante et :
. négative sur [1;α[
. positive sur [α;4].
avec α ≈ 2,3
Voir ci-joint
b) h'(x) = 0,05eˣ - 5(-eˣ)/(eˣ)² = 0,05eˣ + 5/eˣ = 0,05((eˣ)² + 100)/eˣ = 0,05(e²ˣ + 100)/eˣ
c) Sachant que pour tout x ∈ R, eˣ > 0, h'(x) est toujours positive.
x 1 4
h'(x) +
h(x) croissante
d) h(1) = 0,05e - 5/e = 0,05(e² - 100)/e ≈ -1,70 < 0
h(4) = 0,05e⁴ - 5/e⁴ = 0,05(e⁸ - 100)/e⁴ ≈ 2,64 > 0
et f croissante sur [1;4]
⇒ l'équation h(x) = 0 a une solution unique sur [1;4]
2) a) Le prix d'équilibre x₀ est le prix tel f(x) = g(x).
Soit h(x) = 0
⇔ 0,05eˣ - 5/eˣ = 0
⇔ 0,05(e²ˣ - 100)/eˣ = 0
⇒ e²ˣ - 100 = 0
⇔ (eˣ)² = 10²
⇒ eˣ = 10
b) x₀ ≈ 2,30 à un centième d'euro près (= ln(10))
3) f(x₀) = 0,05eˣ⁰ = 0,05 x 10 = 0,5
et g(x₀) = f(x₀) par définition de x₀
⇒ CA réalisé = 0,5 x 10000 x 2,30 ≈ 11513 €
Ex 2)
1) on a dérivé la fonction f et factorisé le résultat. On obtient donc f'(x) sous forme factorisée.
2) f'(0) = 133e⁰/84 = 133/84
