Bonjour,
soit f(x) = [√(x² + 1) - x] - [x/2] = √(x² + 1) - 3x/2
je te propose de passer par la dérivée mais on peut étudier le signe de f directement sans difficulté :
f'(x) = x/√(x² + 1) - 3/2 = [2x - 3√(x² + 1)]/2√(x² + 1)
Signe de 2x - 3√(x² + 1) sur R+*
2x - 3√(x² + 1) = 0
⇔ 2x = 3√(x² + 1)
⇒ 4x² = 9(x² + 1)
pas de solution, donc f'(x) < 0 sur R+*
⇒ f décroissante
lim f(x) quand x→0 = 1 et lim f(x) en +∞ = -∞
⇒ il existe une unique valeur de x ∈ ]0;+∞[ / f(x) = 0
f(x) = 0
⇒ x² + 1 = 9x²/4
⇔ x² = 4/5 ⇒ x = 2/√5
x 0 2√5 +∞
f(x) 1 + 0 - -∞
Donc sur ]0;2√5[, √(x² + 1) > x/2 et sur ]2√5;+∞[, √(x² + 1) < x/2
