Bonsoir,
2.
Pour tout réel x,
x³-8 = x³-2³ = (x-2)(x²+2x+4)
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Rappel de la formule de factorisation : [tex]\forall(a,b)\in\mathbb{R}^2, \forall n\in\mathbb{N}^*, a^n-b^n=(a-b)\sum \limits_{\underset{}{k=0}}^{n-1} a^kb^{n-1-k}[/tex]
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Or x-2 = 0 ⇔ x = 2
Et x²+2x+4 = 0 n'admet pas de solution car Δ = 2²-4(1)(4) = -12 < 0
Comme [tex]a_{deg}(x-2)=a_{deg}(x^2+2x+4)=1>0[/tex], alors on en déduit que :
x²+2x+4 est positif sur ℝ
x-2 est négatif sur ]-∞;2] puis positif sur [2;+∞[
Donc par propriété de multiplication vis-à-vis des signes, (x-2)(x²+2x+4) est négatif sur ]-∞;2] puis positif sur [2;+∞[
Donc x³-8 est négatif sur ]-∞;2] puis positif sur [2;+∞[
