Bonjour,
1) lim Un quand n→+∞ = l, l ∈ R
⇔ La suite (Un) est convergente.
Ce qui peut se traduire par :
∀ ε > 0, il existe n₀ ∈ N / ∀ n ≥ n₀, |Un - l| < ε
2) lim vn quand n→+∞ = lim Un+1 quand n→+∞ = lim Un quand n→+∞ = l
⇒ (Vn) est convergente et sa limite vaut l.
3) a) Une suite (Un) est minorée par m, m ∈ R, si ∀ n ∈ N, Un ≥ m
Dans le cas de la suite supposée par l'élève, on aurait donc : ∀ n ∈ N, Un ≥ 2
Et lim Un quand n → +∞ = 0
ce qui est évidemment contradictoire, car si Un ≥ 2, lim Un ≥ 2.
b) i) ...
ii) ∀ n ∈ N, Un ≥ m
et m > l ⇒ (m + l)/2 < 2m/2 soit (m + l)/2 < m
Par conséquent, ∀ n ∈ N, Un ≥ (m + l)/2
et donc Un ∉ ]-∞; (m + l)/2[
iii) L'hypothèse m > l est donc erronée
⇒ Si une suite (Un) minorée par un réel m, converge vers un réel l, alors m ≤ l
Application
1) f'(x) = [2x*2x - 2(x² + 2)]/(2x)² = (2x² - 4)/4x² = 2(x - √2)(x + √2)/4x²
⇒ f'(x) ≥ 0 sur [√2;+∞[ ⇒ f croissante
2) ∀ n ∈ N, Un+1 = f(Un)
f(√2) = (2 + 2)/2√2 = 2/√2 = √2
f croissante sur [√2;+∞[ ⇒ ∀ n ∈ N, Un+1 ≥ Un ⇒ f(Un) ≥ f(0) donc U+1 ≥ √2
Un+1 = (Un² + 2)/2Un = Un/2 + 1/Un ≤ Un
donc ∀ n ∈ N, √2 ≤ Un+1 ≤ Un
3) (Un) est donc minorée par √2 et décroissante.
On en déduit que (Un) est convergente et que, d'après les questions précédentes : l = lim Un quand n→+∞ ≥ 2
4) a) lim Un+1 = lim Un
⇒ lim (Un² + 2)/2Un = l
⇒ (l² + 2)/2l = l
⇔ (l² + 2)/2l - 2l²/2l = 0
⇒ (-l² + 2)/2l = 0
b) l = √2 ou l = -√2
c) Or on sait que l ≥ √2
donc l = √2
5) U₄ - √2 ≈ 1,59.10⁻¹²
On peut donc conclure que U₄ ≈ √2 à 10⁻¹² près et donc que U₄ est une valeur approchée de √2
Exercice 2
U₀ = 1 et Un+1 = 3Un/(Un + 1)
Soit f la fonction définie par f(x) = 3x/(x + 1) pour tout x réel ≠ -1
f'(x) = [3(x + 1) - 3x]/(x + 1)² = 1/(x + 1)² > 0 ⇒ f croissante sur Df
f(0) = 0 et Un+1 = f(Un) ⇒ f(Un) ≥ 0
Donc 0 ≤ Un+1 ≤ Un
⇒ (Un) décroissante et minorée
⇒ (Un) convergente
lim Un+1 = lim Un
⇒ 3l/(l + 1) = l
⇔ (3l - l(l + 1))/(l + 1) = 0
⇒ -l² + 2l = 0
⇔ l = 2
