Bonjour,
Partie A
Soit f : ℝ→ℝ / f(x) = -x³-3x²+13x+15
1. f(-1) = -(-1)³-3(-1)²+13(-1)+15 = -(-1)-3(1)-13+15 = 1-3-13+15 = 0
Donc -1 est une racine de f
2. Comme -1 est racine de f, alors f peut s'écrire de la forme f(x) = (x-(-1)(ax²+bx+c), avec a, b et c des réels fixés.
Par logique de factorisation en lien avec les coefficients de chaque degré du polynôme f, on en déduit que f(x) = (x+1)(-x²-2x+15)
3. a. Soit l'équation -x²-2x+15 = 0 dans ℝ
Δ = (-2)²-4(-1)(15) = 64 > 0
D'où x = (-(-2)-√64)/(2(-1)) ou x = (-(-2)+√64)/(2(-1))
D'où x = (2-8)/(-2) ou x = (2+8)/(-2)
D'où x = 3 ou x = -5
Donc -x²-2x+15 = -(x-3)(x-(-5)) = -(x-3)(x+5)
Donc f(x) = -(x+1)(x-3)(x+5)
b. Je te laisse faire le tableau de signes. Comme résultat, tu dois trouver : f(x) > 0 ⇔ x∈]-∞;-5[∪]-1;3[
Partie B
Soit l'équation (E) : x³+3x-4 = 0
1. On remarque que 1³+3(1)-4 = 1+3-4 = 0
Donc 1 est une racine évidente de (E).
2. Soit le polynôme P ≔ x³+3x-4
Comme 1 est racine de P, alors x³+3x-4 = (x-1)(ax²+bx+c), avec a, b et c des réels fixés.
Par logique de factorisation en lien avec les coefficients de chaque degré de P, on en déduit que x³+3x-4 = (x-1)(x²+x+4)
3. ∀x∈ℝ,
(E) : x³+3x-4 = 0 ⇔ (x-1)(x²+x+4) = 0
D'où x-1 = 0 ou x²+x+4 = 0
D'où x = 1 ou x²+x+4 = 0
Or l'équation x²+x+4 = 0 n'admet pas de solution dans ℝ car Δ = 1²-4(1)(4) = -15 < 0
Donc (E) : x³+3x-4 = 0 ⇔ x = 1
