Sagot :
Bonjour
Voilà ma proposition :
1°)
[tex] (a-b)( a^{2} +ab+ b^{2} )=a^{3} + a^{2} b+ab^{2}- a^{2} b-ab^{2} -b^{3} [/tex]
[tex] (a-b)( a^{2} +ab+ b^{2} )=a^{3}-b^{3} [/tex]
Donc [tex]a^{3}-b^{3} = (a-b)( a^{2} +ab+ b^{2} )[/tex]
2°)
Le discriminant Δ d'un polynôme du second degrés du type ax² + bx + c est :
Δ = b² - 4ac
Ici le polynôme est [tex] x^{2} +bx+b^{2} [/tex]
Donc [tex] \Delta=b^{2} -4*1*b^{2} = b^{2} -4b^{2} =-3b^{2} [/tex]
3°)
[tex]f(0) = 0^{2} +0b+b^{2} =b^{2} [/tex]
4°)
Nous savons que [tex] \Delta=-3b^{2} [/tex]
b² étant un carré, il est toujours positif (voire nul si b=0).
Son produit par un nombre négatif est donc négatif ou nul :
[tex]-3b^{2} \leq 0[/tex] ⇔[tex] \Delta \leq 0[/tex]
Nous allons étudier le signe du polynôme [tex] x^{2} +bx+b^{2} [/tex] lorsque Δ=0 puis lorsque Δ<0.
Premier cas : Si Δ = 0 alors b² = 0 ⇔ b = 0
Dans ce cas [tex] x^{2} +bx+b^{2} = x^{2} [/tex]
De plus,si Δ = 0 alors le polynôme admet une seule racine (c'est-à-dire l'équation [tex]x^{2} +bx+b^{2} = 0[/tex] admet une seule solution).
Le polynôme est dans ce cas [tex]f(x) = x^{2} [/tex] et la solution à
[tex]f(x) = 0[/tex] est [tex]x=0[/tex]
Donc si Δ=0 alors [tex]b = 0[/tex] et
- le polynôme est toujours positif pour tout x≠0 (puisqu'il s'agit de la fonction f(x) = x²
- ou nul lorsque x=0
Deuxième cas : Si Δ < 0
Lorsque le discriminant d'un polynôme du second degrés est négatif alors il n'admet aucune racine : l'équation [tex]x^{2} +bx+b^{2} = 0[/tex] n'admet aucune solution. Le polynôme est donc alors toujours du signe du coefficient associé à x² (c'est-à-dire du coefficient "a" pour un polynôme ax² + bx + c).
Ici, pour le polynôme [tex] x^{2} +bx+b^{2} [/tex], ce coefficient est 1. Le polynôme sera donc toujours positif lorsque Δ<0.
Donc,dans tous les cas, quelque soit le nombre réel b, la fonction [tex]f[/tex] sera toujours positive.
Autre solution, comme proposée dans l'énoncée :
nous pouvons aussi déterminer le signe de f en calculant α et β qui sont les coordonnées de l'extremum de la courbe graphique de [tex]f[/tex] et pour faire le tableau de variation.
La courbe de f est une parabole concave en haut (c'est-à-dire décroissante puis croissante, lorsque x augmente) car le coefficient associé à x² est positif (c'est le nombre 1)
Pour un polynôme du second degrés, α est donné par la formule :
[tex] \alpha = \frac{-b}{2a} [/tex] et [tex] \beta =f( \alpha )[/tex]
Donc,ici, [tex] \alpha = \frac{-b}{2} [/tex]
et [tex] \beta = \alpha^{2} +b \alpha +b^{2} =( \frac{-b}{2} )^{2} - \frac{b^{2} }{2} +b^{2} = \frac{b^{2} }{4} - \frac{2b^{2} }{4} + b^{2} = \frac{3}{4}b^{2} [/tex]
En conclusion, pour tout x de -∞ à [tex] \frac{-b}{2} [/tex] , f(x) est décroissante, puis, pour tout x de [tex]x = \frac{-b}{2} [/tex] à +∞, f(x) est croissante. Son minimum est [tex] \beta = \frac{3}{4} b^{2} [/tex].
Or b² est toujours positif ou nul, donc β ≥ 0 quelque soit b et donc f(x) est toujours positif ou nul.
5°)
Nous venons de démontrer que, pour tous réels x et b : [tex] x^{2} +bx+b^{2} \geq 0[/tex]
Donc quelque soient les réels a et b avec a ≤ b,
[tex]a^{2} +ab+b^{2} \geq 0[/tex] et [tex]a-b \leq 0 [/tex]
Donc le produit [tex](a-b)(a^{2} +ab+b^{2} ) \leq 0[/tex] puisque les facteurs de ce produits sont de signes différents ou bien l'un des deux ou les deux sont nuls.
Donc a ≤ b ⇔ [tex](a-b)(a^{2} +ab+b^{2} ) \leq 0[/tex]
⇔ [tex]a^{3} -b^{3} \leq 0[/tex]
⇔ [tex] a^{3} \leq b^{3} [/tex]
La fonction cube est donc croissante.
6°)
[tex]a\ \textless \ b[/tex]⇒[tex]a-b\ \textless \ 0[/tex] et [tex]a \neq b[/tex].
Nous avons démontré à la première question que
[tex]a^{3}-b^{3} = (a-b)( a^{2} +ab+ b^{2} )[/tex]
Or [tex]a-b\ \textless \ 0[/tex]
Donc [tex]a^{3}-b^{3} = 0[/tex]⇒[tex]a^{2} +ab+ b^{2}= 0[/tex]
Nous avons démontré à la quatrième question que l'équation
[tex]x^{2} +bx+b^{2} = 0[/tex] n'admet qu'une seule solution, lorsque b=0 et que cette solution était x = 0.
Donc [tex]a^{2} +ab+ b^{2}= 0[/tex] uniquement lorsque a et b sont tous les deux égaux à zéro.
Or,ici, a ≠ b car a < b donc [tex]a^{2} +ab+ b^{2}[/tex] ne peut pas être nul.
Nous avons également démontré à la quatrième question que
[tex]x^{2} +bx+b^{2}[/tex] n'était jamais strictement négatif.
En conclusion :
[tex]a^{3}-b^{3} = (a-b)( a^{2} +ab+ b^{2} )[/tex]
avec [tex]a-b < 0[/tex]
et [tex]( a^{2} +ab+ b^{2} )>0[/tex]
Donc [tex]a^{3}-b^{3}<0[/tex] et [tex]a^{3}<b^{3}[/tex]
La fonction cube est donc strictement croissante.
Voilà ma proposition :
1°)
[tex] (a-b)( a^{2} +ab+ b^{2} )=a^{3} + a^{2} b+ab^{2}- a^{2} b-ab^{2} -b^{3} [/tex]
[tex] (a-b)( a^{2} +ab+ b^{2} )=a^{3}-b^{3} [/tex]
Donc [tex]a^{3}-b^{3} = (a-b)( a^{2} +ab+ b^{2} )[/tex]
2°)
Le discriminant Δ d'un polynôme du second degrés du type ax² + bx + c est :
Δ = b² - 4ac
Ici le polynôme est [tex] x^{2} +bx+b^{2} [/tex]
Donc [tex] \Delta=b^{2} -4*1*b^{2} = b^{2} -4b^{2} =-3b^{2} [/tex]
3°)
[tex]f(0) = 0^{2} +0b+b^{2} =b^{2} [/tex]
4°)
Nous savons que [tex] \Delta=-3b^{2} [/tex]
b² étant un carré, il est toujours positif (voire nul si b=0).
Son produit par un nombre négatif est donc négatif ou nul :
[tex]-3b^{2} \leq 0[/tex] ⇔[tex] \Delta \leq 0[/tex]
Nous allons étudier le signe du polynôme [tex] x^{2} +bx+b^{2} [/tex] lorsque Δ=0 puis lorsque Δ<0.
Premier cas : Si Δ = 0 alors b² = 0 ⇔ b = 0
Dans ce cas [tex] x^{2} +bx+b^{2} = x^{2} [/tex]
De plus,si Δ = 0 alors le polynôme admet une seule racine (c'est-à-dire l'équation [tex]x^{2} +bx+b^{2} = 0[/tex] admet une seule solution).
Le polynôme est dans ce cas [tex]f(x) = x^{2} [/tex] et la solution à
[tex]f(x) = 0[/tex] est [tex]x=0[/tex]
Donc si Δ=0 alors [tex]b = 0[/tex] et
- le polynôme est toujours positif pour tout x≠0 (puisqu'il s'agit de la fonction f(x) = x²
- ou nul lorsque x=0
Deuxième cas : Si Δ < 0
Lorsque le discriminant d'un polynôme du second degrés est négatif alors il n'admet aucune racine : l'équation [tex]x^{2} +bx+b^{2} = 0[/tex] n'admet aucune solution. Le polynôme est donc alors toujours du signe du coefficient associé à x² (c'est-à-dire du coefficient "a" pour un polynôme ax² + bx + c).
Ici, pour le polynôme [tex] x^{2} +bx+b^{2} [/tex], ce coefficient est 1. Le polynôme sera donc toujours positif lorsque Δ<0.
Donc,dans tous les cas, quelque soit le nombre réel b, la fonction [tex]f[/tex] sera toujours positive.
Autre solution, comme proposée dans l'énoncée :
nous pouvons aussi déterminer le signe de f en calculant α et β qui sont les coordonnées de l'extremum de la courbe graphique de [tex]f[/tex] et pour faire le tableau de variation.
La courbe de f est une parabole concave en haut (c'est-à-dire décroissante puis croissante, lorsque x augmente) car le coefficient associé à x² est positif (c'est le nombre 1)
Pour un polynôme du second degrés, α est donné par la formule :
[tex] \alpha = \frac{-b}{2a} [/tex] et [tex] \beta =f( \alpha )[/tex]
Donc,ici, [tex] \alpha = \frac{-b}{2} [/tex]
et [tex] \beta = \alpha^{2} +b \alpha +b^{2} =( \frac{-b}{2} )^{2} - \frac{b^{2} }{2} +b^{2} = \frac{b^{2} }{4} - \frac{2b^{2} }{4} + b^{2} = \frac{3}{4}b^{2} [/tex]
En conclusion, pour tout x de -∞ à [tex] \frac{-b}{2} [/tex] , f(x) est décroissante, puis, pour tout x de [tex]x = \frac{-b}{2} [/tex] à +∞, f(x) est croissante. Son minimum est [tex] \beta = \frac{3}{4} b^{2} [/tex].
Or b² est toujours positif ou nul, donc β ≥ 0 quelque soit b et donc f(x) est toujours positif ou nul.
5°)
Nous venons de démontrer que, pour tous réels x et b : [tex] x^{2} +bx+b^{2} \geq 0[/tex]
Donc quelque soient les réels a et b avec a ≤ b,
[tex]a^{2} +ab+b^{2} \geq 0[/tex] et [tex]a-b \leq 0 [/tex]
Donc le produit [tex](a-b)(a^{2} +ab+b^{2} ) \leq 0[/tex] puisque les facteurs de ce produits sont de signes différents ou bien l'un des deux ou les deux sont nuls.
Donc a ≤ b ⇔ [tex](a-b)(a^{2} +ab+b^{2} ) \leq 0[/tex]
⇔ [tex]a^{3} -b^{3} \leq 0[/tex]
⇔ [tex] a^{3} \leq b^{3} [/tex]
La fonction cube est donc croissante.
6°)
[tex]a\ \textless \ b[/tex]⇒[tex]a-b\ \textless \ 0[/tex] et [tex]a \neq b[/tex].
Nous avons démontré à la première question que
[tex]a^{3}-b^{3} = (a-b)( a^{2} +ab+ b^{2} )[/tex]
Or [tex]a-b\ \textless \ 0[/tex]
Donc [tex]a^{3}-b^{3} = 0[/tex]⇒[tex]a^{2} +ab+ b^{2}= 0[/tex]
Nous avons démontré à la quatrième question que l'équation
[tex]x^{2} +bx+b^{2} = 0[/tex] n'admet qu'une seule solution, lorsque b=0 et que cette solution était x = 0.
Donc [tex]a^{2} +ab+ b^{2}= 0[/tex] uniquement lorsque a et b sont tous les deux égaux à zéro.
Or,ici, a ≠ b car a < b donc [tex]a^{2} +ab+ b^{2}[/tex] ne peut pas être nul.
Nous avons également démontré à la quatrième question que
[tex]x^{2} +bx+b^{2}[/tex] n'était jamais strictement négatif.
En conclusion :
[tex]a^{3}-b^{3} = (a-b)( a^{2} +ab+ b^{2} )[/tex]
avec [tex]a-b < 0[/tex]
et [tex]( a^{2} +ab+ b^{2} )>0[/tex]
Donc [tex]a^{3}-b^{3}<0[/tex] et [tex]a^{3}<b^{3}[/tex]
La fonction cube est donc strictement croissante.
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