Bonjour,
Ex 1)
1)
f(x) = 2x³ - 4x + 5 Df = R
F(x) = 2x⁴/4 - 4x²/2 + 5x/2 + k = x⁴/2 - 2x² + 5x/2 + k
Formule utilisée : Primitive de xⁿ = xⁿ⁺¹/n+1
g(x) = 1/6√x - 1/x² = 1/3 * 1/2√x + (-1/x²) Dg = R⁺*
G(x) = 1/3 * √x + 1/x + k = √x/3 + 1/x + k
Formules utilisées : Primitive de (-1/x²) = 1/x et primitive de 1/2√x = √x
2)
h(x) = 1/x² + 2x + 3
a) Dh = R*
b) H(x) = -1/x + x² + 3x
c) Hk(x) = -1/x + x² + 3x + k
d) Hk(1) = 0 ⇒ -1 + 1 + 3 + k = 0 ⇔ k = -3
⇒ H₋₃(x) = -1/x + x² + 3x - 3
Ex 2)
1) Par définition, la fonction f est la dérivée de sa primitive, la fonction F.
La courbe C₁ est au-dessus de l'axe des abscisses sur [-1;3].
La courbe C₂ est croissante sur ce même intervalle.
Et inversement, C₁ est négative sur ]-∞;-1[∪[3;+∞[
et C₂ est décroissante sur ce même intervalle.
On en conclut que C₁ représente f et C₂ sa primitive F.
2) a) I = [F(x)]₋₁³ = F(3) - F(-1)
b) = 6,75 - (-1,25) = 8 unités d'aire
3) a) J = [F(x)]₁³ = F(3) - F(1) = 6,75 - 2,75 = 4 u.a.
b) K = [F(x)]₁³ - [F(x)]₃⁵ = J - (F(5) - F(3)) = 4 - (-1,25 - 2,75) = 8 u.a.
4) f(x) = ax² + bx + c
f(-1) = 0 ⇒ a - b + c = 0 (1)
f(1) = 3 ⇒ a + b + c = 3 (2)
f(3) = 0 ⇒ 9a + 3b + c = 0 (3)
(2) - (1) ⇒ 2b = 3 ⇒ b = 3/2
(3) - (2) ⇒ 8a + 3 = -3 ⇒ a = -3/4
(1) ⇒ c = 3/2 + 3/4 = 9/4
⇒ f(x) = -3x²/4 + 3x/2 + 9/4
F(x) = -3/4 * x³/3 + 3/2 * x²/2 + 9x/4 + k
soit F(x) = -x³/4 + 3x²/4 + 9x/4 + k
F(0) = 0 ⇒ k = 0
b) I = F(3) - F(-1) = ...
