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Irtxxc
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Bonjour, voici un dm auquel je n'arrive pas à répondre : lorsque l'on augmente de 1 le produit de quatre nombres entiers consécutifs, obtient-on un carré parfait? J'ai trouver l'expression sous forme de x mais je n'arrive pas à prouver que c'est un carré parfait. Pouvez vous m'expliquer et en détaillant si possible.
Merci d'avance.

Sagot :

Loulakar
Bonsoir,

x : entier
x + 1 : consécutif de x
x + 2 : consécutif suivant
x + 3 : consécutif encore après

x * (x + 1) * (x + 2) * (x + 3) + 1 =
x * (x + 1) * (x^2 + 3x + 2x + 6) + 1 =
x * (x + 1) * (x^2 + 5x + 6) + 1 =
x * (x^3 + 5x^2 + 6x + x^2 + 5x + 6) + 1 =
x^4 + 6x^3 + 11x^2 + 6x + 1 =

Il faut calculer ce carré pour prouver qu'il est parfait pour tout x : [x * (x + 3) + 1]^2 = (x^2 + 3x + 1)^2 = (x^2 + 3x + 1)(x^2 + 3x + 1) = x^4 + 3x^3 + x^2 + 3x^3 + 9x^2 + 3x + x^2 + 3x + 1 = x^4 + 6x^3 + 11x^2 + 6x + 1 Les deux expressions sont égales donc c'est un carré parfait On prend par exemple x = 1 :

1^4 + 6 * 1^3 + 11 *1^2 + 6*1 + 1 =
1 + 6 + 11 + 6 + 1 = 25 = 5^2
Donc carré parfait
Voir réponse en annexe, bonsoir
View image Mavan
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