Bonjour,
1) h(x) = f(x) - g(x) sur [1;4]
soit h(x) = 0,05eˣ - 5/eˣ
a) on trace la courbe de h(x) et on constate :
pour x ∈ ]-∞;α[, h(x) < 0
pour x ∈ ]α;+∞[, h(x) > 0
avec α ≈ 2,30 à 0,01 près
b) h'(x) = 0,05eˣ + 5eˣ/(eˣ)² = 0,05eˣ + 5/eˣ = (0,05(eˣ)² + 5)/eˣ
c) Le signe de h'(x) dépend du signe de 0,05e²ˣ + 5 et donc est toujours positif
x 1 4
h'(x) +
h(x) croissante
d) h(1) = 0,05e - 5/e ≈ -1,70 donc < 0
h(4) = 0,05e⁴ - 5/e⁴ ≈ 2,54 donc > 0
et h est croissante sur [1;4]
Donc il existe une valeur unique de x ∈ [1;4] / h(x) = 0
2)a) h(x) = 0
⇔ 0,05eˣ - 5/eˣ = 0
⇔ (0,05e²ˣ - 5)/eˣ = 0
⇒ e²ˣ = 5/0,05 = 100
⇒ eˣ = 10
b) x₀ = 2,30 € à 1 centime près
3) h(x₀) = 0
⇒ f(x₀) = g(x₀) = 0,05eˣ° = 0,05 x 10 = 0,50
soit 0,50 x 10000 = 5000 fourchettes
CA = 5000 x 2,30... = 11 513 € à 1 € près
