Bonjour,
1) Hn = 1 + 1/2 + 1/3 + .... + 1/n
H₁ = 1
H₂ = 1 + 1/2 = 3/2 = 1,5
H₃ = 1 + 1/2 + 1/3 = (6 + 3 + 2)/6 = 11/6 ≈ 1,83
H₄ = 11/6 + 1/4 = (22 + 3)/12 = 25/12 ≈ 2,08
H₅ = 25/12 + 1/5 = (125 + 12)/60 = 137/60 ≈ 2,28
2) Hn+1 = 1 + 1/2 + 1/3 + .... + 1/n + 1/(n+1) = Hn + 1/(n+1)
⇒ Hn+1 - Hn = 1/(n+1)
Pour tout n≥1, 1/(n+1) ≥ 0
Donc Hn+1 ≥ Hn
⇒ (Hn) est croissante.
3) i) n=5 donne à la sortie H = H₅
ii) H₃₀₀ ≈ 6,28(266388)
H₄₀₀ ≈ 6,56(992969)
H₁₀₀₀ ≈ 7,48(547086)
(Hn) ne semble pas converger
4) i) 1 ≤ m ≤ 9
⇒ 1 ≥ 1/m ≥ 1/9
Or 10 > 9 ⇒ 1/m ≥ 1/10
H₉ = 1 + 1/2 + 1/3 + .... + 1/9
Or 1 ≥ 1/10, 1/2 ≥ 1/10, .....et 1/9 ≥ 1/10
Donc H₉ ≥ 9 x 1/10 ⇔ H₉ ≥ 9/10
ii) Il y a 99 - 9, soit 90 nombres à 2 chiffres.
10 ≤ m ≤ 99
⇒ 1/10 ≥ 1/m ≥ 1/99
⇒ 1/m ≥ 1/100
On en déduit H₉₉ - H₉ ≥ 90 x 1/100
Soit H₉₉ - H₉ ≥ 9/10
⇒ H₉₉ ≥ 9/10 + H₉
Or H₉ ≥ 9/10
donc H₉₉ ≥ 2 x 9/10
iii) on n'a pas les questions, mais bon, tu as compris la méthode je suppose
