Bonjour,
Aire MNPQ = MN x QM
MN = yN car yM = 0
et N ∈ (Cf) ⇒ yN = 4 - xN² = 4 - x² car M et N ont la même abscisse x
Donc MN = 4 - x²
QM = 2x car Cf est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées et donc xQ = -xM
(on peut démontrer la symétrie : f(-x) = 4 - (-x)² = 4 - x² = f(x) donc fonction paire)
Donc aire MNPQ = 2x(4 - x²)
Soit g(x) = 2x(4 - x²) = -2x³ + 8x définie pour x ∈ [0;2]
g'(x) = -6x² + 8 = -2(3x² - 4)
g'(x) = 0
⇒ 3x² - 4 = 0
⇔ x² = 4/3
⇒ x = √(4/3) = 2/√3 (appartient bien à [0;2])
x 0 2/√3 2
g'(x) + 0 -
g(x) croissante décroissante
Donc g(x) atteint son maximum pour x = 2/√3
Et donc Aire MNPQ est maximale pour x = 2/√3
