Bonjour,
P(x) = x³ - (α + 3)x² + (3α + 2)x - 2α
1)
P(α) = α³ - (α + 3)α² + (3α + 2)α - 2α
⇔ P(α) = α³ - α³ - 3α² + 3α² + 2α - 2α
⇔ P(α) = 0
(x - α)(ax² + bx + c)
= ax³ + bx² + cx - aαx² - bαx - cα
= ax³ + (b - aα)x² + (c - bα)x - cα
Par analogie des termes de même degré de P(x), on en déduit :
a = 1
b - aα = -(α + 3)
c - bα = 3α + 2
-cα = -2α
⇔
a = 1
b = -3
c = 2
Donc P(x) = (x - α)R(x) avec R(x) = x² - 3x + 2
2) R(2) = 2² - 3*2 + 2 = 0
⇒ R(x) = (x - 2)(x - 1)
⇒ P(x) = (x - α)(x - 2)(x - 1)
3) 1 < x < 2 < α ≤ 9/4
1 - α < x - α < 2 - α < 0 ≤ 9/4 - α
-1 < x - 2 < 0 < α - 2 ≤ 1/4
0 < x - 1 < 1 < α - 1 ≤ 5/4
⇒ 0 < P(x) ≤ 5/4 x 1/4
J'avoue sécher un peu beaucoup pour faire apparaitre (α - 1)/2.
Je reviens si j'ai un éclair de génie...on peut rêver, c'est Noël...
