1/ Le simple calcul de f(1) suffira à montrer que pour tout réel x supérieur ou égal à 1, [tex]f(x) \geq 1[/tex] en vertu de notre hypothèse de croissance de f sur cet intervalle.
[tex]f(1)=\displaystyle \frac{1}{2}e^2 +(2-e)e+(1-2e)+ \frac{3}{2}e^2 [/tex]
[tex]f(1)=2e^2+2e-e^2+1-2e=e^2+1 \geq 1[/tex]
2/ a. Soit x réel et X = exp(x). Notre inéquation devient :
[tex]X^2+(2-e)X-2e \geq 0[/tex]
Il suffit donc de mener l'étude du signe du trinôme apparu pour conclure.
Détermination du discriminant :
[tex]\Delta=(2-e)^2+8e=4+e^2-4e+8e=e^2+4e+4=(e+2)^2 \geq 0[/tex]
Donc le trinôme s'annule deux fois sur les réels en [tex]X_1= \displaystyle\frac{e-2-(e+2)}{2}= -2[/tex] et en [tex]X_2= \displaystyle\frac{e-2+(e+2)}{2}= e[/tex]. Finalement, entre ces deux valeurs, le trinôme est de signe opposé à celui de plus haut degré, soit négatif, et il est de signe identique à celui de plus haut degré, soit positif, à l'extérieur de ces deux racines. Finalement, en revenant à l'expression algébrique de départ par identification, nous trouvons que l'inéquation est remplie quand :
[tex]e^x=X_1=-2[/tex], cas impossible.
[tex]e^x=X_2=e[/tex], soit [tex]x=1[/tex].
Par croissance de la fonction exponentielle, l'inéquation est vraie quand x est supérieur ou égal à 1.
b. Dès lors, prenons un tel x et calculons d'(x) :
[tex]d'(x)=f'(x)-1[/tex]
[tex]d'(x)=e^{2x}+(2-e)e^x+(1-2e)-1[/tex]
[tex]d'(x)= e^{2x}+(2-e)e^x-2e[/tex]
En utilisant la question a., nous savons que cette expression est positive ou nulle si x est supérieur ou égal à 1. Donc, nous en déduisons que sur [tex][1,+\infty[[/tex], la fonction d est croissante. Son terme d(1) vaut f(1) - 1, soit d'après la question 1, [tex]d(1)=e^2+1-1=e^2[/tex]. Sa limite en l'infini positif est déterminée par :
[tex]\displaystyle\lim_{x\rightarrow +\infty} d(x)=\displaystyle\lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{1}{2} e^{2x}=+\infty[/tex]
où le passage de la première à la deuxième égalité est obtenu par des considérations de croissances comparées.
Vous avez ainsi assez d'informations pour dresser le tableau de variations de d sur l'ensemble des réels supérieurs ou égaux à 1.
c. Tout a déjà été fait dans la question précédente. Le minimum est naturellement d(1) et il vaut e².
3/ a. En réinvestissant l'hypothèse de départ du 1/ selon laquelle f est croissante et dans la mesure où notre terme initial est [tex]u_0=2 \geq 1[/tex], nous en déduisons immédiatement que la suite [tex](u_n)_n[/tex] est elle aussi croissante, donc que pour tout entier naturel n, [tex]u_n \geq 1[/tex]
b. Ici, il suffit simplement de remarquer qu'en évaluant d en [tex]u_n[/tex], on trouve la relation proposée :
[tex]d(u_n)=f(u_n)-u_n=u_{n+1}-u_n[/tex]
Nous avons déjà montré en question 2/ que d admet un minimum m dont nous avons démontré la valeur et de fait, pour tout n naturel, nous avons :
[tex]d(u_n) \geq m[/tex], soit le résultat voulu.
c. Par téléscopages successifs en itérant la formule pour tous les entiers de 0 à n - 1, nous trouvons :
[tex]u_n-u_{n-1} \geq m[/tex]
[tex]u_{n-1}-u_{n-2} \geq m[/tex]
...
[tex]u_1-u_0 \geq m[/tex]
En sommant toutes ces inéquations, nous trouvons enfin celle demandée :
[tex]u_n-u_0 \geq nm[/tex]
d. La limite de la suite [tex](u_n)[/tex] correspond donc bien à celle de f que nous avons trouvé ci-dessus. La suite [tex](u_n)[/tex] est en effet minorée par la suite des entiers multipliés par une constante positive, laquelle suite diverge à l'infini positif. Donc la limite de la suite [tex](u_n)[/tex] est bien l'infini positif.
