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On a: a² +b² +c² =1
montrer que
[tex] - \frac{12}{2} \leqslant ab + bc + ca \leqslant 1[/tex] Merci d'avance pour vos réponses
[tex]\textit{ On a : } (a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + bc + ca) \\\\ = 1 + 2(ab + bc + ca) \ge 0 ; \textit{ donc : } ab + bc + ca \ge - \dfrac{1}{2} . \\\\ \textit{on a aussi : } 2(a^2 + b^2 + c^2) - 2(ab + bc + ca) \\\\= (a - b)^2 + (b-c)^2+(c-a)^2 = 2 - 2(ab + bc + ca) \ge 0 \\\\ \textit{donc : } ab + bc + ca \le 1 \textit{ donc : } - \dfrac{1}{2}\le ab + bc + ca \le 1 .[/tex]
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