Bonjour,
je ne suis pas sur d'avoir le temps de terminer. Alors voilà déjà le début..
1) a) (a;b) solution de (E)
⇔ a² - 7b² = 1
⇔ a² = 7b² + 1 ⇒ a > b (car a et b entiers naturels non nuls donc strictement positifs)
b) Soit q un diviseur commun de a et de b
⇒ a ≡ 0 [q] et b ≡ 0 [q]
⇒ a² ≡ 0 [q] et -7b² ≡ 0 [q]
⇒ a² - 7b² ≡ 0 [q]
Or a² - 7b² = 1, donc 1 ≡ 0 [q] ⇒ q = 1
Le seul diviseur positif commun à a et b est donc 1.
c) On en déduit que a et b sont premiers entre eux.
Donc : a² = 7b² + 1 ⇒ a² ≡ 1 [7]
Restes de la division de n par 7 : 0 1 2 3 4 5 6
Restes de la division de n² par 7 : 0 1 4 2 2 4 1
Donc a² ≡ 1 [7] ⇒ a ≡ 1 [7] ou a ≡ 6 [7]
soit a ≡ 1 [7] ou a ≡ -1 [7]
2) 7b² = a² - 1
a = 1 ⇒ a² = 1 ⇒ 7b² = 0 impossible car b≠0
a = 8 ⇒ a² = 64 ⇒ 7b² = 63 ⇒ b² = 9 ⇒ b = 3
Le couple (8;3) est donc solution de (E)
3) a)
Initialisation : n = 1
8 + 3√7 = a₁ + b₁√7 avec (a₁;b₁) = (8;3) qui est bien solution de (E)
Hypothèse : Propriété vraie au rang n
Au rang (n + 1) :
(8 + 3√7)ⁿ⁺¹ = (8 + 3√7)(8 + 3√7)ⁿ
= (8 + 3√7)(an + bn√7) par hypothèse de récurrence, avec (an;bn) solution de (E)
= 8an + 8bn√7 + 3an√7 + 21bn
= (8an + 21bn) + (3an + 8bn)√7
En posant : an+1 = 8an + 21bn et bn+1 = 3an + 8bn
= an+1 + bn+1√7
Reste à vérifier que (an+1;bn+1) est solution de (E)
(an;bn) solution de (E) ⇔ an² - 7bn² = 1
an+1² - 7bn+1²
= (8an + 21bn)² - 7(3an + 8bn)²
= 64an² + 336anbn + 441bn² - 63an² - 336anbn - 448bn²
= an² - 7bn²
= 1
Donc (an+1;bn+1) est bien solution de (E)
b) an+1 = 8an + 21bn et bn+1 = 3an + 8bn définissent 2 suites
donc (E) a une infinité de solutions
c) voir ci-joint
4) a) en B3 : = 8*B2 + 21*C2
en C3 : = 3*B2 + 8*C2
je t'abandonne là :(
