Bonjour,
Soit la fonction fk définit sur R et k∈N+, on donne:
fk(x)=x+kexp(-x)
Pour connaître le minimum, nous allons calculer d'abord la dérivée f'k:
f'k(x)=(x+kexp(-x))'
f'k(x)=1-kexp(-x)
Nous allons chercher pour quelle valeur de k f'k s'annule:
f'k(x)=0
1-kexp(-x)=0
kexp(-x)=1
exp(-x)=1/k comme la fonction Ln est croissante sur ]0;+∞[ donc:
Ln (exp(-x))=Ln (1/k)
Ln(exp(-x))=-Ln k car Ln (1/a)=-Ln a
x=Ln k
Maintenant que nous connaissons le point où est atteint le minimum, nous pouvons vérifié que ces points sont alignés.
On peut ainsi calculer l'ordonnée de ce point Ak sur Ck donc:
f(Ln K)=Ln k+kexp(-Ln k)
f(Ln K)=Ln k+ k/k
f(Ln K)=1+Lnk (ta démonstration peut s'arrêter ici car on a un lien de type Y=X+1, cependant la suite est intéressante)
On peut vérifier qu'il y a un lien de proportionnalité en f(Ln K) et f(Ln (k+1))
f(Ln(k+1))/f(Lnk)
=[Ln(k+1)+(k+1)exp(-ln(k+1))]/(1+Lnk)
=[Ln(k+1)+(k+1)/(k+1)]/(1+Lnk)
=(Ln(k+1)+1)/(1+Lnk)=constante car k est une constante
On appelle H cette constante donc on a une relation du type:
f(Ln (k+1))/f(Lnk)=H
f(Ln(k+1))=H*F(LnK)
Cela démontre sans ambiguïté que ∀k∈N+ alors les minimum de fk(x) sont alignés.
