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Lisetexier2009oyh4z2
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Bonjour et meilleurs vœux pour cette année 2018. J'aimerais que vous répondiez à ma question en indiquant vos différentes étapes de calcul parce que c'est cela qui me pose problème.
Marin Mersenne était un mathématicien français du XVII s qui s'est intéressé aux nombres premiers. Les nombres de Mersenne sont des nombres m tels que m=2^n - 1 , avec n un entier strictement positif. Le plus grand nombre premier connu à l'heure d'aujourd'hui est un nombre de Mersenne !
a) Calculer les 13 premiers nombres de Mersenne ( On les notera M1 M2 M3 ...)
b) Parmi ces 13 nombres, lesquels sont des nombres premiers ? Justifier la réponse en donnant la liste des diviseurs premiers de chaque nombre.
On appelle ces nombres les nombres de Mersenne premiers.
c) Que constate-t-on pour n lorsque m est premier ? La réciproque est-elle toujours vraie ? Justifier.
Merci pour l'aide apportée !!!

Sagot :

Stiaen
Bjr,

a) 

[tex]\text{Mn}= 2^n-1\\\text{M}_1\ne \text{M1}\\\text{M1}= 2^2-1 = 4-1 = 3\\\text{M2}= 2^3-1 = 8-1 = 7\\\text{M3}= 2^4-1 = 16-1 = 15\\\text{M4}= 2^5-1 = 32-1 = 31\\\text{M5}= 2^6-1 = 64-1 = 63\\\text{M6}= 2^7-1 = 128-1 = 127\\\text{M7}= 2^8-1 = 256-1 = 255\\\text{M8}= 2^9-1 = 512-1 = 511\\\text{M9}= 2^{10}-1 = 1\,024-1 = 1\,023\\\text{M10}= 2^{11}-1 = 2\,048-1 = 2\,047\\\text{M11}= 2^{12}-1 = 4\,096-1 = 4\,095\\\text{M12}= 2^{13}-1 = 8\,192-1 = 8\,191\\\text{M13}= 2^{14}-1 = 16\,384-1 = 16\,383\\[/tex]

b)

Rappel d'un nombre premier: "Nombre entier qui n'admet uniquement deux diviseurs: 1 et lui même".

Donc parmi les 13 nombres que tu as trouvé: ceux en gras sont premiers.
1: 1 et 1
3: 3 et 1
7: 7 et 1
15: 5, 3, 1, et 15
31: 31, 1
63: 1, 3, 7
127: 1, 127
255: 1, 3, 
511: 1, 7, 73
1 023: 1, 3, 11, 31,
2 047: 1, 23, 89
4 095: 1, 3, 5, 7, 13
8 191: 1 et 8191
16 383: 1, 3, 127

c)

Lorsque m est premier, n l'est également.
Cependant cette réciproque n'est pas toujours vraie, quand n est premier, m ne l'est pas tout le temps.

Par exemple, si on prend M10. 11 est premier, pourtant 2047 ne l'est pas.

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