Bonjour,
Ex 5)
1) limites
En -∞ :
-5eˣ⁻² → 0
5x - 3x/e² + 54 → 5x(1 - 3/5e² + 54/5x) → 5x(1 - 3/5e²) → -∞
-3e⁻ˣ → -∞
donc par addition, f(x) → -∞
En +∞ :
-5eˣ⁻² → -∞
5x(1 - 3/5e²) → +∞
-3e⁻ˣ → 0
Donc forme indéterminée +∞ -∞ : on factorise
f(x) = -5eˣ⁻²[1 - 5x/5eˣ⁻² + 3x/5e²eˣ⁻² + 3e⁻ˣ/5eˣ⁻² - 54/eˣ⁻²]
= -5eˣ⁻²[1 - e²x/eˣ + 3x/eˣ + 3/5e²ˣ⁻² - 54/eˣ⁻²]
↓ ↓ ↓ ↓ ↓
-∞ 0 0 0 0
donc lim f(x) quand x→+∞ = -∞
2) f'(x) = -5eˣ⁻² + 5 - 3/e² + 3e⁻ˣ
(3e⁻ˣ + 5)(1 - eˣ⁻²) = 3e⁻ˣ - 3e⁻ˣeˣ⁻² + 5 - 5eˣ⁻² = -5eˣ⁻² + 5 -3/e² + 3e⁻ˣ = f'(x)
3)
3e⁻ˣ + 5 = 0 ⇔ e⁻ˣ = -5/3 pas de solution
1 - eˣ⁻² = 0 ⇔ eˣ⁻² = 1 ⇒ x - 2 = 0 ⇔ x = 2
x -∞ 2 +∞
f'(x) + 0 -
f(x) -∞ ↑ ↓ -∞
f(2) = -5 + 10 - 6/e² - 3/e² + 54 = 59 - 9/e² (≈ 57,78 donc > 0)
4) on en déduit : il existe α ∈ ]-∞;2] / f(α) = 0 et il existe β ∈ [2;+∞[ / f(β) = 0
On trouve : α ≈ -2,63 et β ≈ 4,71 à 10⁻² près
5) On en déduit :
x -∞ α β +∞
f(x) - 0 + 0 -
Ex 6)
z' = (z - 2)/(z + i)
1)
|z'| = |(z - 2)/(z + i)| = |z - 2|/|z + i| = AM/BM
2)
arg(z') = arg(z - 2) - arg(z + i) = angle(BM;AM)
3) z' ∈ R*
⇒ arg(z') = 0 [kπ]
⇒ angle(BM;AM) = 0 [kπ]
⇒ M ∈ (AB) privée de B
4) z' ∈ I*
⇒ angle(BM;AM) = π/2 [kπ]
⇒ ABM rectangle en M
⇒ M appartient au cercle de diamètre [AB] privé de B
5) |z'| = OM = 1
⇒ AM/BM = 1
⇔ AM = BM
⇒ M appartient à la médiatrice du segment [AB]
Ex 7)
z' = (3z - 1)/(z + 2)
= (3x - 1 + 3iy)/(x + 2 + iy)
= (3x - 1 + 3iy)(x + 2 - iy)/[(x + 2)² - (iy)²]
= [(3x² + 6x - x - 2 + 3y²) + (-3xy + y + 3xy + 6y)i]/[(x + 2)² + y²]
Re(z') = (3x² + 5x + 3y² - 2)/[(x + 2)² + y²]
Im(z') = (7y)/[(x + 2)² + y²]
2) z' ∈ R
⇒ Im(z') = 0
⇒ y = 0
⇒ z' = Re(z') = (3x² + 5x - 2)/(x + 2)² = (x + 2)(3x - 1)/(x + 2)² = (3x - 1)/(x + 2)
F = Hyperbole d'équation y = (3x - 1)/(x + 2)
