Bonjour, je vais faire avec les infos que tu as apportés.
Soit p(x)=x^4+6x³+11x²+6x
1) Pour vérifier que -1 est racine, nous allons calculer p(-1) donc:
p(-1)=(-1)^4+6(-1)³+11(-1)²+6(-1)
p(-1)=1-6+11-6
p(-1)=12-12
p(-1)=0 donc -1 est bien racine de p(x)
2) A priori, tu l'as fait mais je te remet le résultat:
(x^4+6x³+11x²+6x)/(x+1)=x³+5x²+6x
3) Par la question précédente, on sait que:
P(x)/(x+1)=x³+5x²+6x
si on considère que Q(x)=x³+5x²+6x=Q(x) donc
P(x)/(x+1)=Q(x)
P(x)=Q(x)(x+1)---->CQFD
4) Soit Q(x) définie par:
Q(x)=x³+5x²+6x
Q(x)=x(x²+5x+6)
On cherche à résoudre Q(x)=0 donc:
x(x²+5x+6)=0
Il vient de suite que x=0 est racine de Q(x). Il nous reste alors à résoudre alors par la méthode du discriminant:
x²+5x+6=0
Δ=b²-4ac=(5)²-4(1)(6)=25-24=1
donc comme Δ>0 alors il y a 2 racines réelles telles que:
x(1)=(-b-√Δ)/2a=(-5-1)/2=-3
x(2)=(-b+√Δ)/2a=(-5+1)/2=-2
On en déduis alors la factorisation de Q(x) suivante:
Q(x)=x(x+2)(x+3)
5) On sait par 3) que:
P(x)=Q(x)(x+1)
On remplace alors Q(x) par son expression donc:
P(x)=x(x+2)(x+3)(x+1)
P(x)=x(x+1)(x+2)(x+3)
