Bonjour,
Partie A
1) V₀ = 12
Vn+1 = 1,05Vn
⇒ (Vn) suite géométrique de raison q = 1,05 et de premier terme V₀ = 12
2) Non, car (Vn) est croissante et lim Vn en +∞ = +∞
alors que les contraintes du milieu imposeraient Vn ≤ 60000
Partie B
U₀ = 12 et Un+1 = -1,1Un²/605 + 1,1Un
1)a) g'(x) = -2,2x/605 + 1,1 = (-2,2x + 665,5)/605
g'(x) = 0 ⇒ x = 665,5/2,2 = 302,5
Donc sur [0;60], g'(x) > 0
⇒ g croissante
b) g(x) = x
⇔ -1,1x²/605 + 0,1x = 0
⇒ -1,1x² + 60,5x = 0
⇔ 1,1x(-x + 55) = 0
⇒ x = 0
ou x = 55
2) Un+1 = g(Un)
a) U₁ = g(U₀) = g(12) = -1,1x12²/605 + 1,1x12 ≈ 12,938 à 10⁻³ près
La population a augmenté de 0,938 x 1000, soit 938 individus environ de 2016 à 2017.
b) 0 ≤ U₀ ≤ 55
Supposons qu'au rang n : 0 ≤ Un ≤ 55
Au rang n+1 : Un+1 = g(Un)
D'après l'hypothèse de récurrence : 0 ≤ Un ≤ 55
et g est croissante sur [0;60]
⇒ g(0) ≤ g(Un) ≤ g(55)
g(0) = 0 et g(55) = ...55
⇒ 0 ≤ Un+1 ≤ 55
c) Un+1/ Un = -1,1Un/605 + 1
0 ≤ Un ≤ 55
⇒ 0 ≥ -1,1Un/605 ≥ -55*1,1/605
⇒ 1 ≥ -1,1Un/605 + 1 ≥ 11/10
⇒ Un+1/Un ≥ 1
⇔ Un+1 ≥ Un (car Un ≥ 0)
Donc (Un) croissante
d) (Un) est croissante et majorée par 55
donc (Un) est convergente
e) g(l) = l
D'après le 1)b) ⇒ l = 0 ou l = 55
l = 0 n'a pas de sens puisque U₀ = 12 et (Un) est croissante, donc l > 12.
On en déduit que lim Un = 55
ce qui se signifie que la population n'excèdera jamais 55000 individus.
3)
Tant que u < 50
u prend la valeur -1,1u²/605 + 1,1u
n prend la valeur n+1
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