Bonjour,
Ex 2)
1) f(x) = 1/√(x + 3)
Il faut : x + 3 > 0 ⇒ x > -3 ⇒ Df = ]-3;+∞[
f est de la forme 1/u avec u(x) = √(x + 3)
⇒ u'(x) = 1/2√(x + 3)
⇒ f'(x) = -u'(x)/u²(x) = -1/2(x + 3)√(x + 3)
⇒ f'(x) < 0 sur Df
⇒ f décroissante sur Df
2) g(x) = -1/(x² + 1)
Dg = R
g'(x) = 2x/(x² + 1)²
x -∞ 0 +∞
g'(x) - 0 +
g(x) décrois. croiss.
3) h(x) = 2/√(2x² - 7x + 5)
Il faut 2x² - 7x + 5 > 0
x = 1 est une racine évidente : 2x² - 7x + 5 = (x - 1)(2x - 5)
donc la seconde racine est x = 5/2
2x² - 7x + 5 > 0 à l'extérieur des racines donc Dh = ]-∞;1[∪]5/2;+∞[
h'(x) = -2(4x - 7)/[(2x² - 7x + 5)√(2x² - 7x + 5)]
= -2(4x - 7)/[(x - 1)(2x - 5)√(2x² - 7x + 5)]
x -∞ 1 7/4 5/2 +∞
-2(4x - 7) + + 0 - -
x - 1 - 0 + + +
2x - 5 - - - 0 +
h'(x) + || non définie || -
h(x) crois. || non définie || décrois.
Ex 3)
f(x) = -x³/2 + x² - 5
f est un polynôme donc définie et dérivable sur R
f'(x) = -3x²/2 + 2x
f(1) = -9/2 et f'(1) = 1/2
⇒ tangente en x = 1 : y = f'(1)(x - 1) + f(1)
soit y = x/2 - 5
2) g(x) = √x + 5
définie sur R+ et dérivable sur R+* (non dérivable en 0)
...
3) h(x) = (x + 2)/(x² + 3)
définie et dérivable sur R
...
Ex 4)
|√2 - 2| = -√2 + 2 car (√2 - 2) < 0 = √2(√2 - 1)
|√(0,213) - 0,213| = √(0,213) - 0,213 car √(0,213) > 0;213 = √(0,213)[1 - √(0,213)]
|√x - x| = √x - x si √x ≥ x ⇔ x - x² ≥ 0 ⇔ x(1 - x) ≥ 0 ⇒ 1 - x ≥ 0 ⇔ x ≤ 1
et |√x - x| = -√x + x si x ≥ 1
|x + 5| = x + 5 si x ≥ -5 ⇒ x+ 5 = 2 ⇔ x = -3
|x + 5| = -x - 5 si x ≤ -5 ⇒ -x - 5 = 2 ⇔ x = -7
