1) Pour 4000 articles, x = 4
Coût = C(4) = 18,56 milliers d'€
Recette = R(2) = 32 milliers d'€
Bénéfice = 32.000 - 18.560 = 13.400 €
Pour 12000 articles, x = 12
Coût = C(12) = 87,36 milliers d'€
Recette = R(12) = 96 milliers d'€
Bénéfice = 96.000 - 87.360 = 8.640 €
Il est donc plus rentable de ne fabriquer que 4000 unités.
2) Voir graphique en annexe, la courbe en bleu représente les coûts, la droite en rouge représente la recette.
la droite en rouge s'obtient en joignant les points (0;0) et (5;40) et en la prolongeant.
Il y aura bénéfice si la recette est supérieure au coûts, soit lorsque la droite en rouge est
au dessus de la courbe en bleu.
Graphiquement, la limite inférieure de rentabilité est x=1,2; la limlite supérieure est x =13,6.
Ces points correspondent aux intersections de la courbe en rouge et de la droite en bleu.
Le bénéfice maximum est obtenu lorsque les 2 courbes sont les plus écartées l'une de l'autre.
Ceci se produit si x = 7,4
3) B(x) = R(x) - C(x) = 8x - ( 0,5 x² + 0,6x +8,16 ) =
-0,5 x² + ( 8 - 0,6 ) x - 8,16 =
-0,5 x² + 7,4 x - 8,16
cette expression est un trinôme du second degré dont le coefficient en x² est négatif (-0,5).
sa représentation est une parabole ouverte vers le bas, ses racines (calculer delta = 38,44 = 6,2²)
sont 1,2 et 13,6
cette courbe présente un maximum pour une valeur de x au milieu entre les racines, cest à dire
( 1,2 + 13,6 ) / 2 = 14,8 / 12 =7,4
un trinôme du second degré a toujours le même signe que celui de son coefficient de degré le plus élevé, sauf entre les éventuelles racines.
B(x) sera positif entre 1,2 et 13,6
B(x) sera négatif entre 0 et 1,2 ainsi qu'entre 13,6 et 15
B(x) est croissant entre 0 et 7,4 et décroissant entre 7,4 et 15
le bénéfice maximal sera B(7,4) = 19,22 milliers d'€
