Bonjour,
Soit f la fonction définie sur [0;+∞[ par:
f(x)=(1/2)㏑(x³+1)
1) La fonction Ln est dérivable sur [0;+∞[ et la fonction polynôme du 3ème degrés l'est aussi donc la composé de 2 fonctions dérivables est dérivable. On note f' cette dérivée.
f'(x)=((1/2)ln(x³+1))'
Cette fonction est de type ln(u(x)) a pour dérivée une fonction du type u'/u.
Dans notre cas, nous avons:
u(x)=x³+1 donc u'(x)=3x²+1
f'(x)=(1/2)(3x²)/(x³+1)
f'(x)=(3x²)/(2(x³+1))
∀x∈ [0;+∞[ 3x²≥0 et 2(x³+1)≥0 donc f'(x)≥0 donc f est croissante sur [0;+∞[.
Pour le tableau de variations, nous allons calculer:
Lim f(x)si x⇒0=f(0)=0
Lim(x) si x⇒+∞=+∞
On peut alors établir le tableau de variations (voir pièces jointe)
2)a) Ici je n'ai pas réussi à trouver
b) Si on a:
0≤U(n+1)≤U(n)≤1 alors on peut écrire:
0≤U(n)≤1 donc on peut en déduire que:
Lim U(n) n⇒+∞=1
