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On suppose connu les résultats suivants : (1) Si u et v sont deux fonctions dérivables sur un intervalle I, alors la fonction produit (uv) est dérivable sur I et on a : (uv)' (x) =u'(x)v(x)+u(x)v'(x) (2) Si v est une fonction dérivable sur un intervalle I ne sannulant pas sur I, alors la fonction 1/v est dérivable sur I et on a : (1/v)'(x)=-(v'(x))/(v(x))² Démontrer que si u et v sont deux fonctions dérivables sur I et si v ne sannule pas sur I alors le quotient (u/v) est dérivable sur I et pr tout x appartient a I on a : (u/v)'(x) = [u'(x)v(x) - u(x)v'(x) ]/ (v(x))²

Sagot :

Greencalogero
Bonjour,
Soient u et v deux fonctions dérivables sur I. 
On suppose la fonction f telle que f(x)=u(x)/v(x) avec v(x)≠0. Comme u et v sont dérivables sur I alors leur quotient est aussi dérivable sur I. 
On pose alors:
f(x)=u(x)/v(x) avec v(x)≠0
f(x)=u(x)*1/v(x)
f'(x)=(u(x)*1/v(x))'
On sait qu'une fonction de type uv a une dérivée de type u'v+uv' donc:
f'(x)=u'(x)/v(x)+u(x)(1/v(x))'
comme (1/v(x))'=-v'(x)/(v(x))² donc on peut écrire:
f'(x)=u'(v)/v(x)-u(x)v'(x)/(v(x))²
f'(x)=u'(x)v(x)/(v(x))²-u(x)v'(x)/(v(x))²
f'(x)=(u'(x)v(x)-u(x)v'(x))/(v(x))²
comme f'(x)=(u/v)'(x)
(u/v)'(x)=[u'(x)v(x)-u(x)v'(x]/(v(x))²-----> CQFD
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