👤
Answered

Découvrez une mine d'informations et obtenez des réponses sur FRstudy.me. Trouvez les solutions dont vous avez besoin rapidement et précisément avec l'aide de notre communauté bien informée.

On suppose connu les résultats suivants : (1) Si u et v sont deux fonctions dérivables sur un intervalle I, alors la fonction produit (uv) est dérivable sur I et on a : (uv)' (x) =u'(x)v(x)+u(x)v'(x) (2) Si v est une fonction dérivable sur un intervalle I ne sannulant pas sur I, alors la fonction 1/v est dérivable sur I et on a : (1/v)'(x)=-(v'(x))/(v(x))² Démontrer que si u et v sont deux fonctions dérivables sur I et si v ne sannule pas sur I alors le quotient (u/v) est dérivable sur I et pr tout x appartient a I on a : (u/v)'(x) = [u'(x)v(x) - u(x)v'(x) ]/ (v(x))²

Sagot :

Greencalogero
Bonjour,
Soient u et v deux fonctions dérivables sur I. 
On suppose la fonction f telle que f(x)=u(x)/v(x) avec v(x)≠0. Comme u et v sont dérivables sur I alors leur quotient est aussi dérivable sur I. 
On pose alors:
f(x)=u(x)/v(x) avec v(x)≠0
f(x)=u(x)*1/v(x)
f'(x)=(u(x)*1/v(x))'
On sait qu'une fonction de type uv a une dérivée de type u'v+uv' donc:
f'(x)=u'(x)/v(x)+u(x)(1/v(x))'
comme (1/v(x))'=-v'(x)/(v(x))² donc on peut écrire:
f'(x)=u'(v)/v(x)-u(x)v'(x)/(v(x))²
f'(x)=u'(x)v(x)/(v(x))²-u(x)v'(x)/(v(x))²
f'(x)=(u'(x)v(x)-u(x)v'(x))/(v(x))²
comme f'(x)=(u/v)'(x)
(u/v)'(x)=[u'(x)v(x)-u(x)v'(x]/(v(x))²-----> CQFD
Nous sommes ravis de vous avoir parmi nous. Continuez à poser des questions, à répondre et à partager vos idées. Ensemble, nous créons une ressource de savoir précieuse. FRstudy.me s'engage à répondre à toutes vos questions. Merci et revenez souvent pour des réponses actualisées.