Bonjour,
1)
f(-1) = -(-1)³ -3*(-1)² + 13*(-1) + 15 = 1 - 3 - 13 + 15 = 0
donc x = -1 est une racine de f(x)
2) (x + 1)(ax² + bx + c)
= ax³ + bx² + cx + ax² + bx + c
= ax³ + (a + b)x² + (b + c)x + c
Par analogie avec les termes de même degré de f(x) :
a = -1
a + b = -3
b + c = 13
c = 15
soit :
a = -1
b = -3 - a = -3 + 1 = -2
c = 13 - b = 13 + 2 = 15
c = 15
donc f(x) = (x + 1)(-x² - 2x + 15)
3)a)
On recherche les racines de (-x² - 2x + 15) :
Δ = (-2)² - 4x(-1)x(15) = 4 + 60 = 64 = 8²
donc les 2 racines sont :
x = (2 - 8)/(-2) = 3
et x = (2 + 8)/(-2) = -5
⇒ -x² - 2x + 15 = -(x - 3)(x + 5)
et f(x) = -(x + 1)(x - 3)(x + 5)
b) f(x) > 0
⇔ (x + 1)(3 - x)(x + 5) > 0
x -∞ -5 -1 3 +∞
x + 5 - 0 + + +
x + 1 - - 0 + +
3 - x + + + 0 -
f(x) + 0 - 0 + 0 -
donc f(x) > 0 ⇒ x ∈ ]-∞;-5[ ∪ ]-1;3[
