Bonjour,
Partie A
1) f'(x) = (2ax + b)/(ax² + bx + c)
2) f(0) = ln(c) f(1) = ln(a + b + c) et f'(1) = (2a + b)/(a + b + c)
f(0) = 0 ⇒ ln(c) = 0 ⇒ c = 1
f(1) = 0 ⇒ ln(a + b + 1) = 0 ⇒ a + b + 1 = 1 ⇒ a + b = 0
f'(1) = 1 ⇒ 2a + b = a + b + c ⇔ a = c ⇒ a = 1
et donc b = -a = -1
⇒ f(x) = ln(x² - x + 1)
Partie B
1) Δ = (-1)² - 4*1*1 = -3 < 0 donc pas de racine
⇒ x² - x + 1 > 0 pour tout x ∈ R
2) f'(x) = (2x - 1)/(x² - x + 1)
signe de f'(x) = signe de (2x - 1)
x -∞ 1/2 +∞
2x - 1 - 0 +
f'(x) - 0 +
3) lim en + et -∞ de P(x) = lim en + et -∞ (x²) = +∞
On en déduit lim f(x) en + ou -∞ = +∞
4)
x -∞ 1/2 +∞
f'(x) - 0 +
f(x) +∞ décroissante croissante +∞
f(1/2) = ln(1/4 - 1/2 + 1) = ln(3/4) ≈ -0,28
Partie C
1) (x - 1)²(x + 2)
= (x² - 2x + 1)(x + 2)
= x³ - 2x² + x + 2x² - 4x + 2
= x³ - 3x + 2
x³ - 3x + 2 = 0
⇔ (x - 1)²(x + 2) = 0
⇒ x = 1 ou x = -2
2) f(x) = g(x)
⇔ ln(x² - x + 1) = ln[3x - 1)/(x + 1)]
⇒ x² - x + 1 = (3x - 1)/(x + 1)
⇒ (x + 1)(x² - x + 1) = 3x - 1
⇔ x³ - x² + x + x² - x + 1 - 3x + 1 = 0
⇔ x³ - 3x + 2 = 0
⇒ x = 1 ou x = -2 ∉ Dg
donc Cf et Cg ont un seul point commun d'abscisse x = 1
f'(1) = 1
tangente : y = f'(1)(x - 1) + f(1)
soit y = x - 1
