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Bonsoir ,pourriez -vous m’aider à résoudre une équation qui est la suivante:

(z^4)+1=0

a)Montrer que pour tout z de C on a:

(z-e^i(pi/4))(z+e^i(pi/4))=z^2
-i

Sagot :

Geijutsu
Bonsoir,

On pose l'équation suivante dans ℂ :
z⁴+1 = 0 ⇒ z⁴ = -1 ⇒ z⁴ = exp(iπ) ⇒ z⁴ = (exp(iπ/4))⁴ ⇒ (z/exp(iπ/4))⁴ = 1
D'où z/exp(iπ/4) = 1 ou z/exp(iπ/4) = -1 ou z/exp(iπ/4) = i ou z/exp(iπ/4) = -i
D'où z = exp(iπ/4) ou z = -exp(iπ/4) ou z = i*exp(iπ/4) ou z = -i*exp(iπ/4)
D'où z = exp(iπ/4) ou z = exp(iπ)exp(iπ/4) ou z = exp(iπ/2)*exp(iπ/4) ou z = exp(-iπ/2)exp(iπ/4)
D'où z = exp(iπ/4) ou z = exp(i4π/4)exp(iπ/4) ou z = exp(i2π/4)*exp(iπ/4) ou z = exp(-i2π/4)exp(iπ/4)
D'où z = exp(iπ/4) ou z = exp(i(4π+π)/4) ou z = exp(i(2π+π)/4) ou z = exp(i(-2π+π)/4)
D'où z = exp(iπ/4) ou z = exp(i5π/4) ou z = exp(i3π/4) ou z = exp(-iπ/4)
Donc z = exp(iπ/4) ou z = exp(-i3π/4) ou z = exp(i3π/4) ou z = exp(-iπ/4)

∀z∈ℂ,
(z-exp(iπ/4))(z+exp(iπ/4)) = z²+z*exp(iπ/4)-z*exp(iπ/4)-exp(iπ/4)² = z²-exp(iπ/4)² = z²-exp(i2π/4) = z²-exp(iπ/2) = z²-i
MathsUnPeuCa
Ou bien tu peux aussi faire comme ça...
View image MathsUnPeuCa
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