Alors, pour la question 1 :
Si tu regardes la forme de l'expression de ta fonction f, tu t'apercevras que c'est un produit de facteurs, celui de x par ln(x) - 2.
Donc, quand on te demande de résoudre l'équation f(x) = 0 en réalité cela correspond à résoudre l'équation produit-nul suivante :
x (ln(x) - 2) = 0
or "un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un, au moins, de ces deux facteurs est nul"
Ce qui va te donner : soit x = 0 (pour celle là, c'est fini)
soit ln(x) - 2 = 0 (pour cette dernière, tu isoles le "ln(x)" puis tu passes aux exponentielles de chaque côté, ce qui te donnera :
x = e^(2)"
Il y a donc deux solutions : S = {0 ; e^(2)}
Pour la question 2.a. :
Tu développes l'expression de f(x), tu obtiendras alors la différence des deux termes : x ln(x) et 2x pour chacun desquels tu vas regarder la limite en 0.
Pour le premier, cette limite t'est donnée : c'est 0.
Pour le second, lorsque x tend vers 0 et bien 2x tend vers 2*0 = 0.
Donc, par différence des limites, la limite de f en 0 vaut 0.
(Si tu traces ta fonction à la calculatrice, tu dois pouvoir vérifier cela, la courbe se rapprochera de l'origine du repère)
Pour la question 2.b. :
Dans ce cas, pour éviter d'avoir à rédiger la limite d'une Forme Indéterminée, on va garder l'expression factorisée initiale de f et utiliser le produit des limites.
Tu dois savoir que la limite en +infini de ln(x) est +infini
donc la limite en +infini de ln(x) - 2 est aussi +infini
(en effet, enlever 2 à +infini est quelque chose de totalement négligeable)
Et la limite de x en +infini et bien c'est +infini.
D'où par produit des deux limites, la limite de f en +infini est +infini.
Pour la question 3 :
Attention l'erreur souvent faite dans ce genre de questions, c'est de dériver juste le x sans tenir compte du (ln(x) - 2) donc évitons cela ^^.
Tu as un produit de deux fonctions : x et ln(x) - 2 qui sont toutes les deux définies et dérivables sur ]0 ; +infini[.
Donc, il te faut appliquer la formule de dérivation du produit :
(uv)' = u'v + uv' avec u(x) = x et v(x) = ln(x) - 2
ce qui devrait te donner à la fin, après simplification, l'expression donnée dans l'énoncé : f ' (x) = ln(x) - 1.
Voilà, bon courage et, s'il te faut plus d'informations, n'hésite pas^^.
