Bonjour,
Les points M, E, X et A sont alignés
Les points M, F, T et B sont alignés dans le même ordre
Et les droites (EF), (XT) et (AB) sont parallèles.
Donc, d'après Thalès :
ME/MX = MF/MT = EF/XT (1)
ME/MA = MF/MB = EF/AB (2)
MX/MA = MT/MB = XT/AB (3)
On connait : EF = 5, AB = 15 et AE = 20
On cherche AX (ou XE) et on va noter AX = x (donc XE = 20 - x)
x ∈ [0;20]
Dans le triangle rectangle en A MAB : MA² + AB² = MB² (4)
Dans le triangle rectangle en M MEF : ME² + EF² = MF² (5)
Dans le triangle rectangle en M MXT : MX² + XT² = MT² (6)
On sait aussi : ME = MA - 20 (7)
On sait enfin que quand X = E (soit x = 20) alors V = 2 L = 2000 cm³
Donc l'aire du trapèze ABFE vaut : V/EH = 2000/10 = 200 cm²
On peut vérifier : Aire(ABFE) = (AB + EF)*AE/2 = (15 + 5)*20/2 = 200 cm²
Donc :
Aire(ABTX) = (AB + XT)*AX/2 = (15 + XT)x/2
On souhaite donc trouver XT dans les 3 cas suivants :
(15 + XT)x/2 = 500/10 = 50 (8)
(15 + XT)x/2 = 1000/10 = 100 (9)
(15 + XT)x/2 = 1500/10 = 150 (10)
(2) ⇔ (MA - 20)/MA = MF/MB = 5/15
On en déduit : (MA - 20)/MA = 1/3
⇔ 3(MA - 20) = MA
⇔ 2MA = 60
⇔ MA = 30
On en déduit : (7) ⇔ ME = 30 - 20 = 10
Puis : (1) ⇔ 10/(30 - x) = MF/MT = 5/XT
On en déduit : 10XT = 5(30 - x)
⇔ XT = (30 - x)/2
On a alors :
(8) ⇔ (15 + XT)x/2 = 50
⇔ x(15 + (30 - x)/2)/2 = 50
⇔ x(15 + 15 - x/2) = 100
⇔ x(30 - x/2) = 100
⇔ x(60 - x) = 200
⇔ -x² + 60x - 200 = 0
⇔ x² - 60x + 200 = 0
Δ = (-60)² - 4x1x200 = 3600 - 800 = 2800 = (20√7)² (≈52,9)
donc 2 solutions : x = (60 - 20√7)/2 = 30 - 10√7 ≈ 3,54 cm
ou x = 30 + 10√7 ≈ 56,5 donc ∉ [0;20]
On en déduit XT = (30 - x)/2 = (30 - 30 + 10√7)2 = 5√7
Même méthode pour résoudre (9) et (10) :
