a) prouver que ces 2 triangles sont semblables
(CA) ⊥ (AB) et (BD) ⊥ (AB) donc (AC) // (BD)
l'angle AEC = DEB ( angles opposés par le même sommet sont égaux)
le segment de droite CD est sécant en C et D donc l'angle ACE = EDB (les angles alternes internes sont égaux)
les triangles CAE et EBD sont deux triangles semblables car ils ont les mêmes angles
b) quels sont les côtés homologues
AC et BD
CE et ED
AE et EB
c) on suppose AC = AE + 1 [AE] = x
exprimer l'aire A1(x) du triangle AEC en fonction de x, on donnera une expression développée du résultat
on écrit : A1 = (1/2) * AC * AE
= (1/2) * (AE + 1) * AE
= (1/2) * (x + 1) * x
A1(x) = (1/2) x² + (1/2) x
calculer A1(7) = (1/2) (7)² + (1/2) (7) = (49 + 7)/2 = 56/2 = 28
d) exprimer CE² en fonction de x
on utilise le théorème de Pythagore : CE² = AC² + AE²
= (AE + 1)² + AE²
= (x + 1)² + x²
CE² = x² + 2x + 1 + x² = 2x² + 2x + 1
CE² = 2x² + 2x + 1
e) combien vaut CE lorsque AE = 3
CE² = 2(3)² + 2(3) + 1
= 2*9 + 6 + 1 = 18 + 7 = 25
CE² = 25 ⇒ CE = √25 = 5 cm
CE = 5 cm
combien vaut CA lorsque AE = 20 cm
CA = AE + 1 = 20 + 1 = 21 cm
f) on sait qu'il existe un nombre k tel que
BD = k x AC et EB = k x AE pourquoi
en utilisant le théorème de Thalès; l'égalité des rapports des côtés sont proportionnels
EB/EA = BD/AC = k donc c'est une homothétie de centre E et k s'appelle le rapport de proportionnalité ou d'homothétie
g) exprimer l'aire A2(x) en fonction de x et de k
A2 = (1/2)* BD*EB
= (1/2)*kAC*kAE
= (1/2)* k(AE + 1)*kAE
= (1/2)*k(x + 1)* kx
= (1/2)k²x² + (1/2)k²x
A2(x) = (1/2)k²x² + (1/2)k²x
calculer A2(7) en fonction de k
A2(7) = (1/2)*k²(7)² + (1/2)*k²(7)
= (1/2)k²( 49 + 7) = 56/2)*k² = 28 * k²
A2(7) = 28 * k²
h) exprimer le quotient de A2(7) par A1(7) en fonction de k
A2(7)/A1(7) = 28* k²/28 = k²
i) que peut-on conjecturer
A2(x) = k² A1(x)
