Bonjour,
1. IJBK est un rectangle:
A₁ = l × L
A₁ = IJ × JB
A₁ = x × (AB - AJ)
A₁(x) = x × (8 - x)
A₁(x) = 8x - x²
2. ICD est un triangle:
A₂ = (Base × Hauteur) ÷ 2
A₂ = CD × HI → H n'est pas sur la figure mais on l'imagine sur [CD]
A₂ = (8 × (HJ - IJ)) ÷ 2
A₂(x) = (64 - 8x) ÷ 2
A₂(x) = 32 - 4x
3. A correspond à l'aire cumulée du rectangle IJBK et du triangle ICD:
A = A₁ + A₂
A = 8x - x² + 32 - 4x
A = 8x - 4x - x² + 32
A = 4x - x² + 32
A = -x² + 4x + 32
4. Tableau de signe
Avant de dresser le tableau il faut trouver les solutions de l'équation: A(x) = 0
(voir pièce-jointe)
Comme Δ > 0; signe de a à l'extérieur des racines et signe de -a à l'intérieur des racines.
[tex]\boxed{\begin{matrix}x & -\infty & -4 && 8&+\infty \\A(x) & - & 0& +& 0 &- \end{matrix}}[/tex]
5. Pour dresser le tableau de variations de la fonction, il faut calculer la dérivée de cette fonction:
[tex]A(x) = -x^2+4x+32\\
\Rightarrow A'(x) = -2x + 4\\
[/tex]
Puis calculer la ou les racine(s).
[tex]A'(x) = 0\\
-2x+4 = 0\\
-2(x-2) = 0\\
-2 \neq 0; \quad x = 2[/tex]
Pour x ∈ ]-∞; 2], la dérivée est positive et la fonction est croissante.
Pour x ∈ [2; +∞[, la dérivée est négative et la fonction est décroissante.
Pour x = 2, la dérivée est nulle et la fonction admet un maximum.
A(2) = -2² + 4×2 + 32
A(2) = -4 + 8 + 32
A(2) = 36
On en déduit ce tableau:
[tex]\boxed{\begin{matrix}x & -\infty &&& 2 &&&+\infty \\A'(x) &&& + & 0 & - \\A(x) & -\infty &&\nearrow &36 &\searrow&&-\infty \end{matrix}}
[/tex]
6. L'aire A est maximale pour x = 2; d'après le tableau et d'après l'étude du signe.
Bonne soirée.
