Bonjour,
(* désigne le nombre complexe conjugué)
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Rappels de cours :
[Équation complexe de droite]
Soit z∈ℂ
Soit une droite (d) d'équation ax+by = c, avec (a,b,c)∈ℝ
On pose ω = a+ib ∈ℂ
Donc l'équation complexe de (d) est ω*z+ωz* = 2c
[Équation complexe de cercle]
Soit z∈ℂ
Soit un cercle (C) de centre ω = a+ib ∈ℂ et de rayon r∈ℝ
Donc l'équation complexe de (d) est zz*-ω*z-ωz* = r²-|ω|²
[Quelques règles opératoires]
Soit (z,z')∈ℂ²
(z+z')* = z*+z'*
zz* = |z|²
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Soit l'ensemble S des points M d'affixe z tels que |z-1| = |z-i| et |z-3-2i| = 2
Soit l'ensemble E des points M d'affixe z tels que |z-1| = |z-i|
D'où |z-1|² = |z-i|²
(z-1)(z-1)* = (z-i)(z-i)*
(z-1)(z*-1) = (z-i)(z*+i)
zz*-z-z*+1 = zz*+iz-iz*-i²
-z-z*+1 = iz-iz*+1
-z-z* = iz-iz*
-z-z*-iz+iz* = 0
(-1-i)z+(-1+i)z* = 0
-x+y = 0, avec (x,y)∈ℝ²
y = x
Donc E désigne la droite (d) d'équation y = x
Soit l'ensemble F des points M d'affixe z tels que |z-3-2i| = 2
D'où |z-3-2i|² = 2²
(z-3-2i)(z*-3+2i) = 4
zz*-3z+2iz-3z*+9-6i-2iz*+6i-4i² = 4
zz*-3z+2iz-3z*+9-6i-2iz*+6i+4 = 4
zz*-3z+2iz-3z*-2iz*+13 = 4
zz*-(3-2i)z-(3+2i)z* = -9
Or |3+2i| = √(3²+2²) = √(9+4) = √13, d'où |3+2i|² = 13
D'où zz*-(3-2i)z-(3+2i)z* = 4-13
zz*-(3-2i)z-(3+2i)z* = 2²-|3+2i|²
Donc F désigne le cercle (C) de centre d'affixe 3+2i et de rayon 2
D'où S = E∩F
Donc S désigne uniquement les points d'intersection entre (d) et (C), donc S = {A,B} ≠ [AB]
Donc l'affirmation est fausse.
(Pour que l'affirmation soit vraie, il aurait fallu que S soit l'ensemble des points d'affixe z tels que |z-1| = |z-i| et |z-3-2i| ≤ 2)
