Bonsoir,
a. Soit la fonction f définie et continue sur ℝ⁺ par f(x) = √x
Alors f est dérivable sur ℝ⁺*, et f'(x) = 1/(2√x)
x ≥ 0, d'où √x ≥ 0, d'où 2√x ≥ 0, d'où 1/(2√x) ≥ 0
Alors f'(x) ≥ 0 sur son ensemble de définition
Donc f est croissante sur ℝ⁺
b. ∀x∈ℝ⁺,
√(x²+1) ≥ √2x ⇔ x²+1 ≥ 2x ⇔ x²-2x+1 ≥ 0 ⇔ (x-1)² ≥ 0, ce qui est toujours vrai dans ℝ⁺
Donc ∀x∈ℝ⁺, √(x²+1) ≥ √2x
