Bonjour ;
Exercice n° 3 .
1)
a)
[tex]\forall x\in[0;+\infty[ : -1\le sin(x)\le 1 \Rightarrow - e^{-\frac{x}{ \sqrt{3} }}sin(x) \le f(x) \le e^{-\frac{x}{ \sqrt{3} }}sin(x) \\\\ \Rightarrow \underset{x\rightarrow +\infty }{lim} - e^{-\frac{x}{ \sqrt{3} }}sin(x) \le \underset{x\rightarrow +\infty }{lim} f(x) \le \underset{x\rightarrow +\infty }{lim} e^{-\frac{x}{ \sqrt{3} }}sin(x) [/tex]
[tex]\\\\ \Rightarrow 0 \le \underset{x\rightarrow +\infty }{lim} f(x) \le 0 \Rightarrow \underset{x\rightarrow +\infty }{lim} f(x) = 0 .[/tex]
b , c et d) Veuillez-voir le fichier ci-joint .
2)
a)
[tex]f'(x) = (sin(x)e^{- \frac{x}{ \sqrt{3} } })' = (sin(x))'e^{- \frac{x}{ \sqrt{3} } } + sin(x)(e^{- \frac{x}{ \sqrt{3} } })' \\\\ = cos(x)e^{- \frac{x}{ \sqrt{3} } } - \dfrac{1}{ \sqrt{3} }sin(x)e^{- \frac{x}{ \sqrt{3} } } = (cos(x)-\dfrac{1}{ \sqrt{3} }sin(x))e^{- \frac{x}{ \sqrt{3} } } ;[/tex]
[tex]\textit{donc f' est du signe de : } cos(x)-\dfrac{1}{ \sqrt{3} }sin(x) .[/tex]
b)
[tex]\textit{On a : } cox(x) - \dfrac{1}{ \sqrt{3} } sin(x) = \dfrac{ 2 }{ \sqrt{3} } (\dfrac{ \sqrt{3} }{2} cos(x)- \dfrac{1}{2} sin(x)) \\\\ = \dfrac{ 2 }{ \sqrt{3} } (cos(\dfrac{\pi}{6}) cos(x)- sin(\dfrac{\pi}{6}) sin(x)) = \dfrac{ 2 }{ \sqrt{3} } cos(x+\dfrac{\pi}{6}) .[/tex]
