Bonsoir ;
1)
Notons b , r respectivement une boule blanch et une boule rouge .
Les tirages possibles sont : (b ; b) , (b ; r) ; (r , b) et (r ; r) .
On a 10 boules blanches et "n" boules rouges , donc
en tout on a : 10 + n boules ,
donc la probabilité p(b) de tirer une boule blanche est : 10/(10 + n) ;
et la probabilité de tirer une boule rouge est : n/(10 + n) .
On a : X = - 1 si les tirages effectués sont (b ; r) ou (r ; b) ;
donc la probabilité :
p(X = - 1) = 10/(10 + n) x n/(10 + n) + n/(10 + n) x 10/(10 + n)
= (10n)/(10 + n)² + (10n)/(10 + n)²
= (20n)/(10 + n)² .
2)
Les valeurs prises par la variable aléatoire X sont : - 1 ; 4 et - 6 .
p(X = - 1) = (20n)/(10 + n)² .
On a : X = 4 si le tirage effectué est (b ; b) ;
donc la probabilité :
p(X = 4) = 10/(10 + n) x 10/(10 + n) = 10²/(10 + n)² =(10/(10 + n))² .
On a aussi : X = - 6 si le tirage effectué est (r ; r) ;
donc la probabilité :
p(X = - 6) = n/(10 + n) x n/(10 + n) = n²/(10 + n)² =(n/(10 + n))² .
3)
E(X) = (- 1) x (20n)/(10 + n)² + 4 x (10/(10 + n))² - 6 x (n/(10 + n))²
= (- 20n + 400 - 6n²)/(10 + n)² = - 2(3n² + 10n - 200)/(10 + n)² .
4)
On a : 3n² + 10n - 200 = 0 ;
donc : Δ = 100 + 2400 = 2500 = 50² ;
donc : n1 = (- 10 - 50)/6 = - 60/6 = - 10 ;
et n2 = (- 10 + 50)/6 = 40/6 = 20/3 ≈ 6,67 .
Sachant que : n ≥ 2 , on a le tableau de signe comme sur le fichier ci-joint ,
donc on a : E(x) > 0 pour n ∈ {2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6} ;
donc le jeu est favorable au joueur si E(X) > 0 ;
donc si n ∈ {2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6} .
