1. Alors, voilà ce que tu peux dire :
AK = 1/2*(AB+AI) en vecteurs bien sûr (car K est le milieu de [IB] et ensuite c'est la règle du parallélogramme).
de la même manière AI = 1/2*(AJ + AC) (car I est le milieu de [JC])
d'où en remplaçant, AK = 1/2*AB + 1/4*AJ + 1/4*AC
Or J est le milieu de [AK] donc, AJ = 1/2*AK.
Ainsi, en remplaçant dans l'expression précédente, on obtient :
AK = 1/2*AB +1/8*AK + 1/4*AC on isole ensuite le vecteur AK, ça nous donne :
7/8*AK = 1/2*AB + 1/4*AC autrement dit : AK = 4/7*AB + 2/7*AC.
Donc les coordonnées de K dans le repère sont (4/7 ; 2/7).
2. BP = 1/3*BC donc, en introduisant de part et d'autre le point A grâce à la relation de Chasles, on obtient :
BA + AP = 1/3* (BA + AC) d'où AP = -2/3*BA + 1/3*AC soit
AP = 2/3 AB + 1/3*AC.
3.a. On peut s'apercevoir que AK=6/7*AP et donc que les vecteurs AK et AP sont colinéaires et donc que les droites (AK) et (AP) sont parallèles, et donc confondues (comme elles ont le point K en commun) et donc, comme le point J appartient à la droite (AK), on a les points A, J, K et P qui sont alignés.
