A posséde 90% des client et B possède 10%
donc A0=900 et B0=100
à l'étape 1 : A perd 20% de ses clients et gagne 20% des client de B
donc A1=0.8*A0+0.2*B0 = 740
2/ de la meme manière
A2=0.8*A1+0.2*B1
on remarque que Les clients sont tous chez A ou chez B (il n'y a personne qui n'a pas de téléphone) donc A1+B1=1000
donc B1=260
donc A2=644
3/ en reprenant le raisonement ci dessus on a :
An+1= 0.8*An+0.2*Bn
avec Bn=1000-An
donc An+1= 0.8*An+0.2(1000-An)
4/en simplifiant, on trouve An+1=200+0.6An
5/ l'énoncé de la partie A n'est pas disponible dans la question, néanmoins, on peut émettre les commentaire ci-dessous
An+1-An=200-0.4An
la limite L d'une suite convergente de type Un+1=f(Un) est la solution de l'équation L=f(L)
donc la limite de la suite serait L=500
donc au bout d'un certain temps il y a équillibre des clients
[tex] \lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} b_n =500[/tex]
pour montrer la convergence, on montre que An>500 (par récurence)
a0 est Ok si An >500 on montre que 200+0.6An>500 don An+1>500
on montre que An est décroissante : An+1-An=200-0.4An <0
une suite décroissante bornée est convergente
l'autre solution est de reemarquer que Bn+1=200+Bn (en remplacant An par 1000-Bn)
donc An+1-Bn+1=0.6*(An-Bn)
donc a suite An-Bn est une suite géométrique de raison 0.6
donc An-Bn= (A0-B0)*0.6^n
en combiant avec l'équation An+Bn=1000
on optient la valeur de la suite : An = 500*(1+0.6^n) et Bn = 500 (1-0.6^n)
qui sont des suites convergentes vers 500
