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Zanouba2
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bonjour aide moi svp
Soient x1 et x2 les solutions de l’équation ax2+bx+c=0
1. Montrer que : x1+x2=-b/a
• Que : x1*x2=c/a
2. Soit p(x)=x2-2018x+2017
Verefier que x1=1 est solution de l’equation p(x)=0 et obtenir x2 l’aytre solution de l’equation p(x)=0

Sagot :

Geijutsu
Bonsoir,

Soit le polynôme à coefficients réels P défini par P(x) = ax²+bx+c
On considère x₁ et x₂ les deux racines réelles de P

1. x₁ et x₂ sont les deux racines réelles de P.
De plus, le coefficient dominant de P est a
D'où p(x) = a(x-x₁)(x-x₂)
ax²+bx+c = a(x-x₁)(x-x₂)
ax²+bx+c = ax²-axx₁-axx₂+ax₁x₂
ax²+bx+c = ax²+(-ax₁-ax₂)x+ax₁x₂
ax²+bx+c = ax²+(-a(x₁+x₂))x+ax₁x₂
Donc par unicité des coefficients de P, on obtient :
b = -a(x₁+x₂) ⇒ -b = a(x₁+x₂) ⇒ x₁+x₂ = -b/a
c = ax₁x₂ ⇒ x₁x₂ = c/a

2. Soit le polynôme réel p défini par p(x) = x²-2018x+2017
p(1) = 1²-2018(1)+2017 = 1-2018+2017 = 1-1 = 0
D'où x₁ = 1 est racine de p
Soit x₂ l'autre racine de p
On a alors x₁+x₂ = -(-2018)/1 = 2018
D'où 1+x₂ = 2018
Donc x₂ = 2017
soit  x1 et x2  les solutions de l'équation  ax² + bx + c = 0

1) montrer que x1 + x2 = - b/a

x1 = (- b + √Δ)/2a

x2 = (- b - √Δ)/2a

x1 + x2 = (-b + √Δ)/2a  + (- b - √Δ)/2a = (- b + √Δ  - b - √Δ)/2a = - 2b/2a = -b/a

donc  x1 + x2 = - b/a

 b)  x1*x2 = c/a

 x1 * x2  =  (- b + √Δ)/2a  *(- b - √Δ)/2a 

              = 1/4a² [ (- b + √Δ)(- b - √Δ)]

             =  1/4a² [ b² + b√Δ - b√Δ - √Δ²]  

             = 1/4a² [ b² - Δ]  

 Δ = b² - 4ac   on obtient donc x1*x2 = 1/4a² [ b² - b² + 4ac] = 4ac/4a²

on aura donc x1*x2 = c/a

2) soit  p(x) = x² - 2018x + 2017

 vérifie que x1 = 1 est solution de l'équation p(x) = 0

   p(x) = x² - 2018x + 2017 ⇒ p(1) = 1² - 2018*1 + 2017 = 2017 - 2017 = 0

donc x1 = 1 est une solution de l'équation p(x) = 0 

 x1 + x2 = - b/a ⇒ x2 = - b/a - x1 = 2018/1 - 1 = 2017

x1*x2 = c/a ⇒ x2 = c/a/ x1 = 2017/1/1 = 2017  
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