Bon, si on appelle a la longueur du côté qu'on enroule et b la hauteur du cylindre obtenu alors :
a + b = 20 donc b = 20 - a
a et b évoluent toutes les deux sur l'intervalle [0 ; 20]
Le périmètre du cercle d'extrémité est égal à a.
Or le rayon de ce cercle est tel que 2 pi r = a ce qui donne r = a / (2pi).
Or le volume d'un cylindre est égal à :
(aire du disque de base x hauteur) = 2 pi r² b = 2 pi (a / (2pi))² (20 - a)
Autrement dit, V(a) = a²(20 - a) / (4pi).
V est dérivable et sa dérivée vaut : V ' (a) = 1/(4pi) x (-3a² + 40a)
C'est à dire : V ' (a) = a / (4pi) x (-3a + 40).
Une étude du signe de V ' te donne le tableau de variations de l'image jointe.
Et donc, le volume est maximal si le côté du rectangle que l'on enroule mesure 40/3 cm.
Pour cette valeur, le volume vaut 8 000 / (27pi) soit environ 94,314 cm^3
