I est le centre du cercle inscrit au triangle ABC et ce cercle a pour rayon r.
Si on découpe le triangle ABC en AIB, BIC et CIA :
Alors l'aire de AIB = AB x hauteur / 2 = c x r / 2 = (c / 2) x r
(le "x" représente une multiplication et le rayon du cercle inscrit passant par le point de tangence est perpendiculaire au côté, c'est pour cela que la hauteur de AIB mesure r...)
De même l'aire de BIC = BC x hauteur / 2 = a x r / 2 = (a / 2) x r
De même l'aire de CIA = AC x hauteur / 2 = b x r / 2 = (b / 2) x r
Ainsi, l'aire du triangle ABC vaut la somme des trois aires précédentes :
S = (a / 2) x r + (b / 2) x r + (c / 2) x r = (a / 2 + b / 2 + c / 2)x r
donc S = ((a+b+c) / 2) x r = p r.
