Bonjour,
1) Pour vérifier que F est bien une primitive de f on va la dérivé en utilisant la formule de dérivation d'une fraction suivante :
[tex]( \frac{u(x)}{v(x)} )^{'} = \frac{u'(x)v(x)-u(x)-v'(x)}{v(x)^{2}} [/tex]
avec
[tex]u(x) = e^{x}-8 [/tex]
[tex]v(x)={e^{x}+2 } [/tex]
En appliquant la formule on obtient :
[tex] \frac{(e^{x}(e^{x}+2))-((e^{x}-8)e^{x})}{(e^{x}+2)^{2}} [/tex]
[tex] \frac{(e^{2x}+2e^{x})-(e^{2x}-8e^{x})}{(e^{x}+2)^{2}} [/tex]
[tex] \frac{10e^{x}}{(e^{x}+2)^{2}} [/tex]
2) Maintenant déterminons la primitive de f qui s'annule en 0
Lorsque l'on dérive une constante on sait que l'on obtient 0. Donc l'ensemble des primitives de f et de la forme :
[tex]\frac{ e^{x}-8}{e^{x}+2 } + c
[/tex]
où c est une constant.
Il reste maintenant à déterminer c pour que H(0) = 0
Calculons donc
[tex]H(0) = \frac{ e^{0}-8}{e^{0}+2 } + c[/tex]
[tex]H(0) = \frac{ 1-8}{1+2 } + c[/tex]
[tex]H(0) = \frac{ -7}{3 } + c[/tex]
Pour que H(0) = 0 il faut que
[tex]\frac{ -7}{3 } + c = 0[/tex]
C'est à dire
[tex]c = \frac{7}{3 }[/tex]
Ainsi
[tex]H(x)=\frac{ e^{x}-8}{e^{x}+2 } + \frac{7}{3} [/tex]
Voilà, si tu as des questions, n'hésites pas ;)
