Bonjour,
1)
R(A) = C et R(B) = A
Soit M le centre de rotation et θ l'angle de rotation de R.
On a alors :
(MA;MC) = (MB;MA) = θ (avec des ^ sur les angles et des flèches sur les vecteurs)
⇒ (MA;MC) = -(MA;MB)
⇔ (MA;MC) = (MA;-MB)
⇒ (MC;-MB) = 0
⇔ (MB;MC) = π [2π]
⇒ M ∈ (BC)
Par ailleurs, R(A) = C ⇒ MA = MC (en distance cette fois)
et R(B) = A ⇒ MB = MA
Donc MB = MC ⇒ M est le milieu de [BC) donc M = O
AB = AC et A ≠ B.
Donc il existe une unique rotation R qui transforme A en C et B en A.
2) θ = (OA;OC) = π + (OC;OA) = π + π/2 = 3π/2 (voir figure)
3) RoR(B) = R(A) = C
⇒ MB = MC ⇒ M = O
4) C' = R(C)
a) (OC';OC) = 3π/2 et OC' = OC
Or OC = OA car R(A) = C
Donc OC' = OC = OA
Et (OA;OC') = (OA;OC) + (OC;OC') = 3π/2 + 3π/2 = 3π = π [2π]
Donc O est le milieu de [AC']
b) D'après la réciproque de Thalès :
A, K et C alignés et A, O, C' alignés dans le même ordre
Et : AK/AC = AO/AC' = 1/2
⇒ (OK) // (CC')
