Bonjour,
par récurrence :
U₀ = 2 donc U₀ ≤ β
On suppose qu'au rang n, Un ≤ β
Au rang n+1 : Un+1 = 1 + ln(Un + 1)
Un ≤ β par hypothèse de récurrence
⇒ Un + 1 ≤ β + 1
⇒ ln(Un + 1) ≤ ln(β + 1)
⇒ 1 + ln(Un + 1) ≤ 1 + ln(β + 1)
soit Un+1 ≤ 1 + ln(β + 1)
Je pense que la valeur de β que tu donnes est erronée. La bonne valeur est plutôt 2,1461 à 10⁻⁴ près. Trace les fonctions 1 + ln(1 + x) et y = x pour le vérifier.
On a alors 1 + ln(β + 1) = β
et donc Un+1 ≤ β
D'où hérédité démontrée.
La suite (Un) est donc majorée.
Et je suppose que tu as démontré précédemment qu'elle était croissante.
Donc (Un) est convergente.
