1) f(x)= x+1 est une fonction strictement croissante sur [0;1]
Elle est aussi strictement positive sur cet intervalle.
On peut donc écrire f(0) ≤ f(x) ≤ f(1)
⇔ 1 ≤ x+1 ≤ 2
⇔1 ≥ 1/(x+1) ≥ 1/2
x² ≥ 0, donc :
⇔x² ≥ x²/(x+1) ≥ x²/2 cqfd
L'intégrale est une application linéaire,
En intégrant sur [0;1], on peut donc écrire:
[tex] \int\limits^1_0 { \frac{ x^{2}}{2} } \, dx \leq \int\limits^1_0 { \frac{ x^{2}}{x+1} } \, dx \leq \int\limits^1_0 { x^{2} } \, dx[/tex]
Calculons :
[tex]\int\limits^1_0 { \frac{ x^{2}}{2} } \, dx = \left[\begin{array}{ccc} \frac{x^{3} }{6} \end{array}\right] ^{1} _{0} = \frac{1}{6} [/tex]
et
[tex]\int\limits^1_0 { x^{2} } \, dx = \left[\begin{array}{ccc} \frac{x^{3} }{3} \end{array}\right] ^{1} _{0} = \frac{1}{3} [/tex]
Donc
[tex] \frac{1}{6} \leq \int\limits^1_0 { \frac{ x^{2}}{x+1} } \, dx \leq \frac{1}{3} [/tex]
2)
[tex]x-1+ \frac{1}{x+1} = \frac{(x-1)(x+1)}{x+1} +\frac{1}{x+1} \\
= \frac{(x-1)(x+1)+1}{x+1} = \frac{x^2 - 1+1}{x+1} = \frac{x^2}{x+1} \\ CQFD[/tex]
Donc
[tex]I = \int\limits^1_0 { \frac{ x^{2}}{x+1} } \, dx = \int\limits^1_0 { x-1+ \frac{1}{x+1} } \, dx =\int\limits^1_0 { x-1 } \, dx +\int\limits^1_0 { \frac{1}{x+1} } \, dx \\
= \left[\begin{array}{ccc} \frac{x^{2} }{2}-x \end{array}\right] ^{1} _{0} + \left[\begin{array}{ccc} ln|x+1| \end{array}\right] ^{1} _{0} = - \frac{1}{2} +ln(2)[/tex]
La première inégalité trouvée nous donne :
[tex] \frac{1}{6} \leq \int\limits^1_0 { \frac{ x^{2}}{x+1} } \, dx \leq \frac{1}{3} \\
donc \\ \frac{1}{6} \leq - \frac{1}{2} +ln(2) \leq \frac{1}{3}\\
D'ou: \\ \frac{2}{3} \leq ln(2) \leq \frac{5}{6}
[/tex]
Exo 2
Pour que le produit soit nul, il faut que l'une des deux parenthèses au moins soit nul donc :
Soit z²-2(cosθ)z + 1 = 0 : (E1)
z = a+bi
(E1) ⇔ (a+bi)²-2(cosθ)(a+bi)+ 1 = 0
⇔ a²-b²+2abi - (2cosθ)a - (2cosθ)bi + 1 = 0
⇔ a²-b²+ 1 - (2cosθ)a + (2ab - (2cosθ)b)i = 0
Pour qu'un nombre complexe soit nul, il faut que sa partie réelle et sa partie imaginaire soient nuls soit :
2ab - (2cosθ)b = 0 ⇒ a=cosθ
Et : a²-b²-(2cosθ)a+1 = 0 ⇔ (cos²θ)-b²-2(cos²θ)+1 = 0 ⇔ b = sinθ
Une première solution est donc z1 = (cosθ) + i(sinθ)
Suivre le même principe pour trouver la ou les solutions de l'équation (E2) :
z²+2(cosθ)z + 1 = 0
