Bonjour,
Calcul de la dérivée (la tienne est fausse):
[tex]f(x)=\dfrac{1}{4}x+\dfrac{1}{4}+\dfrac{2,5}{x}\\\\=\dfrac{x}{4}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{5}{2x}\\\\=\dfrac{x+1}{4}+\dfrac{5}{2x}\\\\=\dfrac{1}{4}\times(x+1) +5\times \dfrac{1}{2x}\\\\
=\dfrac{1}{x}+5\times\dfrac{1}{2x}\\\\\\
f'(x)=\dfrac{1}{4}+5\times\left(-\dfrac{2}{(2x)^2}\right)\\\\
=\dfrac{1}{4}-\dfrac{10}{(2x)^2}\\\\
=\dfrac{1}{4}-\dfrac{10}{4x^2}\\\\
=\dfrac{1}{4}-\dfrac{5}{2x^2}\\\\
=\dfrac{1\times2x^2-4\times5}{4\times2x^2}\\\\
=\dfrac{2x^2-20}{8x^2}\\\\\boxed{f'(x)=\dfrac{x^2-10}{4x^2}}[/tex]
Équation de tangente:
[tex]y=f'(a)(x-a)+f(a)[/tex]
1) On remplace 1 dans la dérivée:
[tex]f'(1)=\dfrac{1^2-10}{4\times1^2}\\\\ \boxed{f'(1)=-\dfrac{9}{4}}[/tex]
2) On remplace 1 dans la fonction de base:
[tex]f(1) = \dfrac{1}{4}\times1+\dfrac{1}{4}+\dfrac{2,5}{1}\\\\
= \dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}+2,5\\\\
= \dfrac{1}{2} + \dfrac{5}{2}\\\\=\dfrac{6}{2}\\\\ \boxed{f(1)= 3}[/tex]
3) Application de la formule:
[tex]y = -\dfrac{9}{4}x+\dfrac{9}{4}+3\\\\
y = -\dfrac{9}{4}x + \dfrac{27}{12}+\dfrac{36}{12}\\\\
y =- \dfrac{9}{4}x+\dfrac{63}{12}\\\\\boxed{y = -\dfrac{9}{4}x + \dfrac{21}{4}}[/tex]
