Bonsoir,
Soit la fonction g définie sur [0;4] par g(x) = e⁻ˣ(2.7-3x)
Soit la fonction G définie sur [0;4] par G(x) = (3x+0.3)e⁻ˣ-1.3
1) G est dérivable sur [0;4]. On a G'(x) = (3x+0.3)'e⁻ˣ+(3x+0.3)(e⁻ˣ)' = 3e⁻ˣ+(3x+0.3)(-e⁻ˣ) = 3e⁻ˣ-(3x+0.3)e⁻ˣ = e⁻ˣ(3-3x-0.3) = e⁻ˣ(3.7-3x) = g(x)
Donc G est une primitive de g sur [0;4]
2) e⁻ˣ est positif sur [0;4] de façon évidente, puisque la fonction exp(·) est strictement positive sur [0;4]. Le signe de g dépend alors du signe de 2.7-3x
Dans [0;4] on pose l'inéquation suivante :
2.7-3x > 0 ⇒ 3x < 2.7 ⇒ x < 0.9 ⇒ x∈[0;0.9[
Donc G est strictement croissante sur [0;0.9], puis strictement décroissante sur [0.9;4]
Je te laisse dresser le tableau de variations, sachant que :
G(0) = (3*0+0.3)e⁻⁰-1.3 = 0.3-1.3 = -1
G(0.9) = (3*0.9+0.3)*exp(-0.9)-1.3 = (2.7+0.3)*exp(-0.9)-1.3 = 3*exp(-0.9)-1.3 ≈ -0.08
G(4) = (3*4+0.3)e⁻⁴-1.3 = (12.3)e⁻⁴-1.3 ≈ -1.07
3) Le maximum de G est alors 3*exp(-0.9)-1.3 et est strictement négatif.
Donc G est strictement négative sur [0;4]
