Bonjour,
1) Tu dois savoir faire. Petite remarque :
BE=-(1/2)CB=(1/2)BC
donc E est le milieu de [BC].
2) Tu pourrais dire :
E est le milieu de [BC].
F milieu de [AB]
donc d'après le théorème de la droite des milieux ( que tu récites) :
(FE) //(AB)
ou alors avec des vecteurs :
EF=EB+BA+AF ( Chasles)
Mais EB=(1/2)CB et AF=(1/2)AC donc :
EF=(1/2)CB+(1/2)AC+BA=(1/2)(AC+CB)+BA=(1/2)AB+BA=-1(/2)BA+BA=(1/2)BA
Donc EF et BA sont colinéaires et (EF) // (AB)
3)
Je viens de le faire :
EF=(1/2)BA donne : AB=2FE
4)
AE=AB+BE
AE=AC+CE
On additionne membre à membre :
2AE=AB+AC+BE+CE mais BE+CE=0 ( vecteur nul)
donc : AE=(1/2)(AB+AC)
5)
On sait que : AD=(3/2)(AB+AC)
et que :
AE=(1/2)(AB+AC)
Donc : AD=3AE.
6) les vecteurs AD et AE sont colinéaires donc les points A, E et D sont alignés.
7)
AM=3BM=3(BA+AM)
AM=3BA+3AM
-2AM=-3AB
AM=(3/2)AB
donc M est sur (AB) au-delà de B par rapport à A et BM=(1/2)AB. OK ?
8)
C est le milieu de [FG] donc GC=CF=(1/2)CA
GA=GC+CA=(1/2)CA+CA=(3/2)CA
GD=GA+AD mais GA=(3/2)CA et AD=(3/2)(AB+AC)
donc :
GD=(3/2)CA+(3/2)AB+(3/2)AC mais (3/2)CA+(3/2)AC=0 ( vecteur nul) donc :
GD=(3/2)AB
9) Fait plus haut pour que tu places M.-->AM=(3/2)AB
10)
On a donc :
AM=(3/2)AB et GD=(3/2)AB donc : AM=GD ( en vecteurs bien sûr)
Donc AMDG est un parallélogramme.
