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Salut à tous j’ai un exercice de maths mais je ne comprends vraiment rien

f(x) = 2x/x^2+9
Démontrez que pour tout nombre réel x > ou égal 0.h(x) < ou égal à 1/3

Merci d’avance.

Sagot :

Scoladan
Bonjour,

f(x) = 2x/(x² + 9)

f'(x) = [2(x² + 9) - (2x)(2x)]/(x² + 9)²

= (-2x² + 18)/(x² + 9)²

= 2(9 - x²)/(x² + 9)

= 2(3 - x)(3 + x)/(x² + 9)

Le signe de f'(x) sur [0;+∞[ ne dépend que du signe de (3 - x) :

x           0                      3                         +∞
3 - x                  +          0           -
f'(x)                   +          0           -
f(x)            croissante      décroissante

f atteint donc un maximum (global) pour x = 3.

Et f(3) = 2*3/(3² + 9) = 6/18 = 1/3

donc pour tout x ≥ 0, f(x) ≤ 1/3
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